Le modèle dynamique de base, Gestion de risque financier

Le modèle dynamique de base – risque financier

Section 2 :

Le modèle dynamique de base

1- Marchés de titres

« Un titre est un droit sur un processus de dividendes adapté, (D) par exemple, ou Dt est le dividende versé par le titre à la date t.

Chaque titre a un processus de prix adapté S, St étant le prix ex-dividende du titre à la date t, ainsi a chaque date t le titre paye un dividende St et se négocie alors au prix St.

Cette convention implique que D0 ne joue aucun rôle dans la détermination des prix ex-dividende. Le prix cum-dividende du titre à la date t est St + Dt.

Supposons qu’il existe n titres définis par le processus de dividendes adapté à valeurs dans Rn :   D = (D1,………, Dn). Le processus des prix de ces titres est :

S = (S1,…, Sn). Une stratégie de portefeuille est un processus adapté P dans Rn

Pt = ( Pt1 , Pt2 , …., Ptn)

Il représente le portefeuille détenu après la conclusion des échanges à la date t. le processus de dividendes Dp généré par une

stratégie de portefeuille P est définie par

Dtp =  [Pt-1 * (St + Dt)] – St* Dt

Avec  « p-1 =0 »par convention

2- Arbitrage, prix contingents, et martingales

Etant donné un couple (D, S) pour N titres, une stratégie de portefeuille P est un arbitrage si Dp >0.

Il y absence d’opportunité d’arbitrage si et seulement si il existe un fonction linéaire strictement croissante F : L R, où L est l’espace des processus adaptés (processus des dividendes), telle que F (Dp ) = 0 pour toute stratégie de portefeuille P.

Le résultat suivant donne la représentation de RIEZ d’une fonction linéaire sur l’espace des processus adaptés. La démonstration de ce résultat, qui est une généralisation du LEMME de représentation de RIEZ dans un cadre unipériodique.

LEMME. Pou toute fonction linéaire F : L R il existe π unique appartenant à L, appelé représentation de riesz de F, tel que

T

F(x)  =  E (∑ πtxt), x  L.

t=0

Si F est strictement croissante π est strictement positif.

Tout processus adapté strictement positif est appelé déflateur. Un déflateur π est un  déflateur-prix contingent si, pour tout t,

1            T

St  =     πt        Et (∑ πj Dp)

J=t+1

3- Optimalité individuelle

Un agent est défini par une fonction d’utilité U strictement croissante sur l’ensemble L+ (l’ensemble des  « processus de consommation » adaptés et non négatifs), et par un processus de dotations e appartenant à L+.Etant donné (D,S), une stratégie de portefeuille  donne à un agent un processus de consommation total  e+D.

Cet agent a donc comme ensemble de consommations possibles

X = (e+D  L + :   Q)

Avec  Q : l’espace des stratégie de portefeuille pour toutes les stratégies et ∂.

Le problème que doit résoudre un agent, c’est la maximisation de sa fonction d’utilité sur l’ensemble des consommations possibles :

MaxcX U(c)

4- Equilibre et Pareto- optimalité

Supposons qu’il existe M agents : l’agent i est définie, comme ci-dessus, par une fonction d’utilité strictement croissante Ui : L + R et un processus de dotation ei  L +. Un équilibre est un m-uple (1,………, m, S), ou S est un processus des prix des actifs et, pour tout i, i  est un stratégie de portefeuille solution de :

Max Ui (c)

s. c.  C = ei +  D    L +.

Les marchés sont complets si pour chaque processus x appartenant à L il existe une stratégie de portefeuille  telle que D= Xt.

L’optimalité au sens de Pareto étant définie de la même manière que l’optimalité individuelle.

5- Evaluation des actifs à l’équilibre

Nous définissons pour  appartenant à IR+m  la fonction d’utilité U : → IR par

m

U (x)  =    max     ∑ i Ui (ci)    s.c.   c1+…+cm    x

(c1,….,cm)   i =1

Elle est basée sur le fait que, lorsque les marchés sont complets, un déflateur-prix contingent est un vecteur de multiplicateurs de Lagrange associés chacun à la consommation d’un agent et à celle de l’agent représentatif, représente par (U, e) dans un état du monde et à une date donnés.

6- Arbitrage et mesures marginales équivalentes

Cette section montre que l’absence d’opportunité d’arbitrage est équivalente à l’existence d’une probabilité Q sous laquelle les processus de gain actualisés sont les martingales.

Il existe à une date donnée t < T un emprunt sans risque à court terme s’il existe une stratégie telle que :

(i)    Ds   =0 pour  s < t

(ii)    Dt+1            = 1, et

T+1

(iii)    Ds   =0 pour   s >  t+1

Le facteur d’actualisation à la date t est défini par :

dt = -Dt

Supposons dans cette section qu’il existe, à chaque date t < T, un emprunt sans risque tel que la facteur d’actualisation correspondant dt est strictement positif.

La valeur de remboursement d’un emprunt sans risque d’un montant égal à une unité de compte. Renouvelé de période en période entre deux dates                      t et  ≥ t quelconques. Est égal à :

Rt ,  =   (dt dt+1…..dT+1)-1

Les choses seraient simples, aussi bien d’un point de vue conceptuel que technique, si le prix d’un titre était égal tout simplement à la somme de ses dividendes futurs actualisés.

Bien sur, ceci a peu de chances d’être le cas lorsque les investisseurs ont une aversion pour le risque.

Il est cependant possible d’arriver à une solution de ce type pour les prix des actifs en modifiant la probabilité originelle P. une probabilité Q est équivalente à P si Q et P attribuent une probabilité nulle aux mêmes évènements.

Le modèle dynamique de base, Gestion de risque financier

7- Evaluation des titres redondants

Supposons que le couple processus des dividendes-processus des prix (D, s) vérifie l’absence d’opportunité d’arbitrage et qu’il existe par conséquent un déflateur-prix contingent π.

Introduisons maintenant un nouveau titre dont le processus de dividendes est D´ t dont le processus de prix est S´.D´ faisant appel uniquement aux titres originaux qui réplique D´, c’est à dire telle que   Dt  =  Dt´ pour t ≥ 1. L’absence d’opportunité  d’arbitrage implique

1            T

St´ =  Vt  =            Et  (∑   πt D´j),  t  <  T.

πt          j= t +1

si ce n’était pas le cas, il serait possible d’effectuer un arbitrage en procédant de la manière suivante. Soit le temps d’arrêt    =  min {t : S´t   > Vt}. Considérons la stratégie consistant à

(a)    vendre le titre contingent D´ à l’instant   pour S´ , et à conserver cette position jusqu’à la date T.

(b)    investir  .S à la date  dans la stratégie de duplication  jusqu’à la date T.

Il est souvent supposé, dans les applications de cette théorie, que les marchés sont complets pour le couple processus des dividendes-processus des prix (D,S). Dans ce cas, tout titre supplémentaire est redondant.

D’après  « modèles dynamiques d’évaluation » .de  DARREL DUFFIE, édition 2001, p 185

Conclusion générale

L’objectif de cette étude est de faire un bilan de l’ensemble des stratégies développées pour gérer les risques financiers étant donné que la gestion de ces risques reste un objectif primordial à la stabilité de l’entreprise.

En dehors des stratégies préalablement définie, l’identification des risques passe aujourd’hui par la compréhension du cycle de gestion qui intègre les partenaires en amont et en aval (les clients et les fournisseurs), mais aussi, dans un environnement en interaction complexe avec l’entreprise, les autres parties prenants (banques, société civile).

Dans cette optique, l’évaluation des risques passe également par une analyse du cycle de vie des produits.

Cette démarche d’analyse et d’identification systématique est assez traditionnelle dans le monde industrielle : maritime, aviation, nucléaire, pétrolière, industrie chimique, …. Bien que cela n’élimine pas totalement le risque.

D’autre part, cette démarche se développe  également dans le domaine de la santé, et plus précisément dans les établissements de santé, publics ou privés, ou la gestion des risques et des vigilances sanitaires est devenue indissociable de la démarche qualité.

En revanche, l’analyse de risque est beaucoup plus récente dans le domaine de la gestion et de l’économie, qui en était relativement écarté du fait de l’absence (apparente) de risques directs sur la vie humaine.

D’autre part, il existe, à l’intérieure des entreprises, une certaine déconnexion entre le domaine de la gestion pure, et celui de l’industrie, mais les liens existent néanmoins, puisque toutes les grandes entreprises industrielles doivent gérer leur activité, et cela se fait aujourd’hui à l’aide de l’informatique de gestion.

D’autre part, la gestion des connaissances a tendance aujourd’hui à faire tomber les frontières entre la gestion et la technique pure, puisqu’elle s’intéresse aux connaissances et aux compétences de l’entreprise.

On trouve finalement dans les grandes entreprises,  des équipes spécialisées à la tête desquelles œuvre un gestionnaire du risque ou risk manager.

Il ont donc pour vocation de gérer les risques de l’entreprise.

Bibliographie

Pour citer ce mémoire (mémoire de master, thèse, PFE,...) :
La première page du mémoire (avec le fichier pdf) - Thème :
La gestion du risque financier: aspects économiques & modèles mathématiques
Auteur·trice·s :
 Ahmed E. & Adil E. & Abdellah S.
Ahmed E. & Adil E. & Abdellah S.
Université :
Université Moulay Ismail - Option : Economie & Gestion
Année de soutenance :
Economiques et Sociales - 2008/2009
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