Modèles basés sur la VaR – Evaluation du risque de crédit
2.2. Les modèles basés sur la VaR
2.2.1. La VaR appliquée au risque de crédit
La VaR est l’abréviation d’un terme anglais, « Value at Risk » qui signifie « valeur en risque », utilisée habituellement pour mesurer le risque de marché relatif à un portefeuille d’actifs.
Il s’agit du montant des pertes maximum sur un horizon temporel donné et un niveau de confiance choisi, si l’on exclut les événements défavorables ayant une faible probabilité de se produire.
Cette notion de la VaR repose donc sur trois paramètres fondamentaux :
- La distribution des résultats des portefeuilles (souvent supposée Normale)
- Un niveau de confiance choisi (95% ou 99% en général)
- Et un horizon temporel donné.
Le principe de détermination d’une VaR est simple. La relation entre une valeur possible est ses chances de survenir est une distribution de probabilité.
Dés lors tout devient affaire de probabilité. Il s’agit de déterminer quel niveau de pertes potentielles ne sera dépassé que dans une fraction faible des cas. Au-delà, l’établissement bancaire fait défaut par définition. Cette fraction s’appelle le seuil de tolérance pour le risque.
Voyons dans l’exemple suivant le mode de calcul d’une VaR pour risque de crédit : Une perte potentielle est caractérisée par deux chiffres :
- Sa valeur
- La probabilité de dépasser cette valeur.
Supposons qu’une banque détienne un portefeuille de 1000 dont le rating moyen est A. Les statistiques de défaut associés à ce rating sont : un taux de défaillance moyen de 1% et une volatilité annuelle de ce taux dans le temps de 1,5%. La volatilité traduit l’instabilité temporelle des défaillances.
La casse statistique sera de 1% de l’encours, soit 10. La volatilité des pertes pour défaut sera de 1,5×1000 soit 15
On suppose que la perte en cas de défaut est de 100%, c’est-à-dire qu’il n’y a aucune récupération.
On estime que la distribution de probabilité des pertes suit une loi Normale, ce qui implique les résultats suivants : Il y a 2,5 chances sur 100 pour que les pertes dépassent 1,96 fois la volatilité. Dans notre exemple, les pertes potentielles au seuil de tolérance de 2,5% sont donc de 1,96 15=30
Le capital nécessaire à la couverture de ce portefeuille sera de 30 selon le modèle de la VAR.
Bien entendu toute la difficulté réside dans le choix du multiple, dont la précision peut être illusoire, surtout si l’on cherche à évaluer des évènements rares. L’accroissement de la richesse des bases existantes et des apports opérationnels des modèles prennent alors toute leur importance.
2.2.2. Le modèle Crédit Metrics de JP Morgan
Crée en 1997, ce modèle est le précurseur et aussi la référence en matière de modèle interne d’évaluation de risque de crédit.
Il s’inscrit dans l’approche de Merton, et il apprécie le risque de crédit d’un portefeuille global à travers deux facteurs, qui sont, le risque de défaut de la contrepartie à proprement parler, et le risque de dégradation de la qualité de la créance.
Ce deuxième facteur est caractérisé par la mise en œuvre d’une matrice de transition, qui donne les probabilités de transactions d’un rating à un autre pour un horizon donné. C’est donc un modèle « Mark-to-Market ».
Ce modèle cherche à calculer une VaR de crédit, c’est-à-dire la perte potentielle maximale sur un portefeuille de créances pour un horizon et un intervalle de confiance donnés. L’horizon du risque est évidemment un élément capital lors des simulations. Deux horizons sont en général retenus :
- Un horizon d’un an
- Un horizon égal à la maturité du portefeuille (date à laquelle le portefeuille de crédit sera totalement échu).
Risque de crédit maximal sur
La durée de vie du swap
| 0,22 | 0,20 | 0,18 | 0,16 |
0,14 Risque de crédit à 1 an
| 0,12 | 0,1 | 0,08 | 0,06 | 0,04 | 0,02 | 0 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sur les opérations de marché, la mise en place de procédures d’appels de marge intermédiaires réduit l’horizon du risque de crédit à la prochaine échéance d’apurement du mark-to-market de la position. Ces procédures s’inscrivent en conséquence dans une politique de réduction du coût du capital réglementaire.
Les changements de qualité des contreparties sont suivis à travers des notations internes et des notations externes. C’est-à-dire celles des agences de rating, et plus particulièrement des migrations d’une notation à une autre. Le modèle ne se limite pas au cas où la contrepartie fait défaut.
Contrairement à la VaR de marché, la VaR de crédit ne suit pas une loi Normale, mais présente une queue de distribution plus épaisse, ce qu’on appelle « fat tails », c’est-à-dire une probabilité non nulle de pertes importantes.
Il n’est donc pas possible de caractériser entièrement la distribution à l’aide de l’espérance et de la variance.
2.3. La volatilité de la valeur de chaque instrument en fonction des migrations :
D’une part, il faut collecter des données des agences de rating permettant de construire des matrices de transition, qui indiquent pour chaque notation, la probabilité de passer à chacune des autres notations possibles au cours d’une année.
Ces matrices sont des moyennes construites à partir des données historiques, et ne reflètent donc pas l’influence des cycles économiques sur les probabilités de transition. C
eci constitue une limite au modèle CreditMetrics. Il faut également signaler, nous le verrons plus tard qu’il existe également à coté de ce rating externe un rating interne propre aux établissements de crédits.
Matrice de transition de notation sur un an (%)
| Notation Notation en fin d’année (%) Initiale 1(AAA) 2(AA) 3(A) 4(BBB) 5(BB) 6(B) 7(CCC) Défaut 1(AAA) 66,36 22,22 7,37 2,45 0 ,86 0,67 0,14 0,02 2(AA) 21,66 43,04 25,83 6,56 1,99 0,68 0,20 0,04 3(A) 2,76 20,34 44,19 22,94 7,42 1,97 0,28 0,10 4(BBB) 0,30 2,80 22,63 42,54 23,52 6,95 1,00 0,26 5(BB) 0,08 0,24 3,69 22,93 44,41 24,53 3,41 0,71 6(B) 0,01 0,05 0,39 3,48 20,47 53,00 20,58 2,017(CCC) 0,00 0,01 0,09 0,26 1,79 17,77 69,94 10,13 |
Source: Gupton, Finger and Bathia
Leur caractère statique est d’autant plus préjudiciable qu’un changement de notation semble accroître la probabilité de migration ultérieure. Il existe donc une dynamique des migrations qui n’est pas prise en compte par le modèle.
D’autre part, il faut évaluer le changement de valeur induit par une migration d’une note à une autre. Ce changement dépend du taux de recouvrement en cas de défaut et de l’impact d’une migration sur la valeur du contrat.
Le taux de recouvrement dépend lui-même de niveau de priorité « seniority » attachée à la créance considérée. Une fois de plus, les agences de rating ou le rating interne des banques fournissent des statistiques historiques, mais qui sont affectées comme nous l’avons vu d’une forte volatilité. C’est pourquoi l’écart type du taux de recouvrement est intégré comme un input.
Le problème est que ces données sont largement fondées sur les statistiques des faillites bancaires aux Etats-Unis et cela introduit un biais, car elles ne reflètent pas forcément l composition de tous les portefeuilles et de toutes les législations nationales en matière de faillites.
Enfin, il faut combiner la probabilité de transition et le changement de valeur en cas de transition, afin d’obtenir la distribution de la valeur de chaque instrument et donc la distribution de la valeur du portefeuille, et plus précisément son espérance et sa variance.
2.3.1. Les corrélations entre les différents instruments permettent d’évaluer la volatilité de la valeur du portefeuille
Le rating des différentes contreparties à l’horizon d’un an est en partie corrélé en raison de la sensibilité des ratings aux mêmes facteurs microéconomiques. Toutefois, les données concernant les corrélations entre deux évènements (migration ou défaut) sont rares et donc peu fiables statistiquement.
Pour contourner cet obstacle CreditMetrics adopte une approche fondée sur les corrélations entre les prix des actions. On peut considérer par hypothèse que ces prix intègrent les anticipations des acteurs du marché.
Ils ont l’avantage d’être disponibles pour un grand nombre de contreparties et de longues séries chronologiques. Les corrélations entre les évolutions de notation de crédit sont obtenues à partir d’un modèle reliant les actifs nets de la contrepartie aux changements de notation de crédit.
Afin de limiter la taille des matrices de corrélation, CreditMetrics propose de caractériser chaque contrepartie en fonction du secteur et du pays qui sont les plus susceptibles de déterminer son niveau d’activité. La pondération de chaque secteur et de chaque pays est laissée à l’initiative de l’utilisateur.
La composante du risque spécifique à chaque contrepartie est prise en compte également. La taille de la matrice de corrélation est ainsi limitée au nombre de pays et de secteurs de l’économie que l’utilisateur a retenu.
