L’optimisation des soins à domicile pourrait réduire de 30 % les taux de mortalité maternelle en Haïti. Cette recherche innovante propose un modèle de pilotage distribué, transformant la gestion des ressources pour une prise en charge efficace et adaptée aux besoins des patients.
Formulation du modèle d’optimisation du processus de
pilotage
Le problème d’affectation des ressources, comme il est indiqué plus haut, est récurrent. Les solutions proposées par l’application des outils existants sont d’ordre approximatif. L’objectif est de trouver des solutions permettant d’affecter des ressources de façon efficace et efficiente pour l’amélioration du système. Au niveau de notre modèle, le facteur temporel est réglementé de sorte que l’affectation d’une ressource ne se fasse pas sur la base de sa disponibilité quotidienne, mais plutôt sur le nombre de patiente qui doit lui être assignée sur une semaine et le nombre total sur une année.
Ce qui signifie que notre démarche d’affectation des ressources se positionne d’avantage sur le moyen terme. On essaie donc d’ajuster la demande des soins à domicile à la capacité d’assistance. Bien que nous évitions d’ordonnancer les activités opérationnelles du processus, nous avons élaboré dans le diagramme de la figure 49 les différentes étapes du processus d’assistance médicale à domicile que donne la sage-femme.
L’objectif était de déterminer le temps approximatif qu’une prise en charge peut durer si on tient compte du temps de déplacement, de consultation et de fin de service.
L’objectif du modèle d’optimisation du processus de pilotage des activités de la plateforme de prise en charge consiste à minimiser les temps d’attente d’une patiente avant son affectation à une sage-femme, les coûts d’admission en HAD et l’offre des soins. Pour atteindre cet objectif, nous formulons le problème d’affection des ressources sous la forme dynamique de « MLCLSP » (Multi-Level Capacitated Lot Sizing Problem), et nous proposons une approche d’optimisation linéaire mixte pour la recherche des solutions optimales.
Le problème de lot-sizing est très répandu dans la planification des systèmes de production. Il permet de répondre efficacement à des questions importantes relatives à l’élaboration d’un plan de production d’un ensemble de produits N pour un horizon de planification de T périodes (Absi, 2005), telles que:
- Quels sont les produits (items) à réaliser à chaque période?
- Quelle est la quantité à produire pour chaque item?
- Sur quelle machine produire chaque item?
- Quelle est la gamme utilisée pour produire chaque item?
Dans le cadre de ma thèse, le problème de lot-sizing est utilisé dans un contexte similaire aux systèmes de productions industriels. Il s’agit de déterminer un plan de prestation de service d’un ensemble de visites médicales K chez les patientes pour un horizon de planification constituée de T périodes tout en tenant compte de certaines contraintes prédéfinies.
Ainsi, dans notre approche:
- Les produits (items) à réaliser à chaque période sont les visites médicales au domicile de la patiente par période.
- La quantité à produire pour chaque item caractérise le nombre de visites médicales à effectuer pour chaque patiente sur l’horizon de la planification.
- La machine consistant à produire chaque item caractérise la ressource (sage-femme) effectuant chaque visite médicale chez la patiente.
- La gamme utilisée pour produire chaque item représente la distance à parcourir pour effectuer chaque visite médicale chez la patiente.
MLCLSP : Multi-Level Capacitated Lot Sizing Problem
Le problème d’ordonnancement des tâches ne date pas d’hier. De la recherche opérationnelle aux sciences de management, de nombreuses méthodes heuristiques ont été développées pour la recherche de solution approchée à ce problème (Minton S. et al., 1990). On est, toutefois, toujours à la recherche de solution relativement plus efficace pouvant contribuer à l’augmentation du niveau de performance des systèmes de production.
Ce problème qui consiste à ordonnancer la réalisation des tâches séquentielles sur une ligne de production avec des ressources à capacité limitée tient compte des temps de mise en route, d’attente et de production ainsi que des différents coûts liés à la production.
Le MLCLSP, considéré comme un « Big Bucket problem13 », consiste à planifier N activités sur un horizon de temps T. L’objectif est de minimiser la somme des temps de mise en route, des coûts de production et les mises en attentes dont la capacité de production est limitée. De nombreuses approches sont proposées pour résoudre ce problème qui paraisse NP-difficile (Barbarosoglu G.; Ozdamar L. 2000; Sahling F et al., 2008; Sahling F., Helber S. 2004; Tempelmeier H., Buschkuhl L. 2008; Chen W.H., Thizy J.M. 1990, Absi, 2005).
Beaucoup d’articles traitant le problème de lot-sizing sont publiés dans la littérature. Par exemple, (Chen W.-H., Thizy J.M. 2002) ont proposé une méthode de génération de colonnes pour le problème de lot-sizing sans temps de mise en route.
Pourtant, (Vanderbeck F. 1998) a développé une méthode de branch-and-price qui combine une méthode de génération de colonnes et une méthode de coupes pour la résolution du problème lot-sizing avec temps de mise en route. De son côté, (Constantino M. 1998) a étudié le problème de lot-sizing avec les bornes inférieures sur les variables de production.
L’auteur a proposé des inégalités valides pour ce problème en se basant sur des relaxations sur une seule période. Des résultats expérimentaux intéressants ont été donnés. Quelques deux décennies plut tôt, (Kleindorfer P.R., Newson E.F.P., 1975) avaient proposé une décomposition lagrangienne pour le problème lot-sizing basée sur la relaxation des contraintes de ressources.
La section suivante fait état du problème de lot-sizing adressé dans cette thèse en vue d’affecter des ressources sages-femmes à des femmes enceintes dans le cadre d’une plateforme d’accompagnement de la maternité à domicile.
Modèle MLCLSP
Dans le cadre de la planification des ressources pour la prise en charge de la maternité à domicile, nous formulons notre problème à partir d’une version simple du MLCLSP. Nous considérons que nous avons un nombre K de demande de visites médicales à planifier sur un horizon de temps T chez un nombre I patientes avec l’affectation d’un nombre J sages-femmes.
Cette demande par patiente du nombre de visites totale est notée ai. Le modèle est construit de telle sorte que les demandes de visites soient satisfaites dans les créneaux mutuellement convenus entre les acteurs. À chaque fois qu’une nouvelle demande d’admission est arrivée, elle est analysée et traitée. Une décision est prise par le responsable de la plateforme pour savoir si la demande sera acceptée ou rejetée.
Les rejets sont dus à cause de l’endroit où vit la patiente par rapport à la zone couverte par la plateforme, des antécédents médicaux risqués de la patiente, de l’inadaptabilité à recevoir une assistance à domicile et
13 N’importe quelle quantité de produits peut être fabriquée au cours d’une période donnée (production sans limite sur un horizon de temps).
des aspects d’ordre financiers. Cette patiente, une fois acceptée, est ajoutée à la liste des patientes en attente de planification des visites médicales. La capacité horaire de ressource j sages-femmes au temps t est notée gjt. Nous utilisons les concepts « visites » ou « interventions médicales » pour décrire le produit ou la prestation de service à délivrer chez la patiente qui est considérée comme client à satisfaire. Nous cherchons donc à affecter des ressources j pour satisfaire les demandes k sur des périodes t.
Mathématiquement, les notations suivantes sont utilisées pour formuler le MLCLSP.
Ensembles et indices
kK visites ou interventions médicales
iI Patientes à visiter
tT Horizon de temps
jJ Ressources sages-femmes
Paramètres :
gjt Capacité horaire disponible de la ressource sage-femme j à la période t.
ai Le nombre totale de visites médicales à effectuer chez la patiente i.
ei Coût de la mise sur la liste d’attente de la patiente i.
sji Coût d’une visite en heure normale de la ressource j chez la patiente i.
pcj Coût horaire supplémentaire par la ressource j.
maxhj Nombre maximal d’heures supplémentaires permise à la ressource j sur l’horizon T.
tpkij La durée en heure d’une visite médicale k chez la patiente i effectuée par la sage-femme j, incluant les trajets.
Variables de décision
Xkijt{0, 1} Variable binaire qui prend la valeur 1 si la visite médicale k de la patiente i est effectuée par la ressource j au temps t en heure normale (HN), et 0 sinon.
Ykijt{0, 1} Variable binaire qui prend la valeur 1 si la visite médicale k de la patiente i est effectuée par la ressource j au temps t en heure supplémentaire (HS), et 0 sinon.
Ci Variable binaire qui prend la valeur 1 si la patiente i est mise sur la liste d’attente.
Formulation des contraintes.
∑𝑖∈𝐼 ∑𝑘∈𝐾(𝑡𝑝𝑘𝑖j * 𝑋𝑘𝑖j𝑡) ≤ 𝑔j𝑡 ∀j, 𝑡 (1)
∑𝑘∈𝐾 ∑j∈𝐽 ∑𝑡∈𝑇( 𝑋𝑘𝑖j𝑡 + 𝑌𝑘𝑖j𝑡) ≤ 𝑎𝑖(1 − 𝐶𝑖) ∀𝑖 (2)
∑𝑘∈𝐾 ∑𝑡∈𝑇 ∑𝑖∈𝐼(𝑡𝑝𝑘j𝑖 * 𝑌𝑘𝑖j𝑡) ≤ 𝑚𝑎𝑥ℎj ∀j (3)
∑𝑘∈𝐾 ∑𝑡∈𝑇 ∑j∈𝐽 𝑋𝑘𝑖j𝑡 + ∑𝑘∈𝐾 ∑𝑡∈𝑇 ∑j∈𝐽 𝑌𝑘𝑖j𝑡 + 𝐶𝑖 = 1 ∀𝑖 (4)
∑j∈𝐽 ∑𝑘∈𝐾( 𝑋𝑘𝑖j𝑡 + 𝑌𝑘𝑖j𝑡) ≤ 1 ∀𝑖, 𝑡 (5)
𝐶𝑖 ≥ 0 ∀𝑖 (6)
𝑃j𝑘 ≥ 0 ∀j, 𝑘 (7)
𝑋𝑘𝑖j𝑡 ∈ {0, 1} ∀𝑘, 𝑖, j, 𝑡 (8)
𝑌𝑘𝑖j𝑡 ∈ {0, 1} ∀𝑘, 𝑖, j, 𝑡 (9)
𝐶𝑖 ∈ {0, 1} ∀𝑖 (10)
Sur la contrainte (1) on vérifie que l’ensemble des charges faites sur toutes les patientes et pour toutes les visites soient conformes à ce que peut faire la sage-femme à chaque période t. La contrainte (2) stipule que l’ensemble de toutes les visites médicales effectuées chez une patiente, en HN ou en HS, par les sages-femmes doivent être planifiées sur l’horizon de temps T, sinon la patiente est mise sur la liste d’attente.
La contrainte (3) est également une contrainte de capacité qui tient compte des heures supplémentaires qui sont sur toute la période T. Elle indique que les heures supplémentaires utilisées par la ressource sage-femme ne doivent pas dépasser les heures supplémentaires permises sur l’horizon T. Une visite selon la contrainte (4) est faite une seule fois (en HN ou HS) ou n’est pas faite.
La contrainte (5) exprime qu’une seule visite au maximum est planifiée par période pour quelque soit la patiente et la période. Les contraintes (6) à (7) sont des contraintes de non-négativité. L’équation (8) exprime les conditions de la variable X qui prend la valeur 1 si la visite médicale k chez la patiente i est effectuée par la ressource j au temps t en heure normale, et 0 sinon.
L’équation (9) exprime les conditions de la variable Y qui prend la valeur 1 si la visite médicale k chez la patiente i est effectuée par la ressource j au temps t en heure supplémentaire, et 0 sinon. La contrainte (10) indique que la variable binaire prend la valeur 1 si la patiente i est mise sur la liste d’attente, et 0 sinon.
La fonction objective
La fonction objective consiste à trouver une solution la moins relaxée possible qui minimise la somme des temps de mise en attente, la somme des coûts de visites normales et la somme des coûts de visites en heures supplémentaires.
𝑍 = ∑ 𝑐𝑖 * 𝑒𝑖 + ∑ ∑ ∑ ∑(𝑠j𝑖 * 𝑋𝑘𝑖j𝑡) + ∑ ∑ ∑ ∑(𝑝𝑐j * 𝑡𝑝𝑘j𝑖 * 𝑌𝑘𝑖j𝑡)
𝑖∈𝐼
𝑘∈𝐾 𝑖∈𝐼 j∈𝐽 𝑡∈𝑇
𝑘∈𝐾 𝑖∈𝐼 j∈𝐽 𝑡∈𝑇
(11)
Le problème est formulé de sorte qu’un nombre de visites médicales soient planifiées chez des patientes i sur l’horizon de temps T en tenant compte de la capacité des ressources j disponibles. Les demandes acceptées sont ajoutées sur la liste de visites médicales W à affecter. En affectant au plus tôt une ressource j à la demande de visite k, nous minimisons le coût de mise en attente.
Cette formulation qui est du type de programmation linéaire mixte considère que les visites médicales constituent le produit unique à délivrer. La capacité des ressources étant limitée, une ressource peut- être affectée à plusieurs visites, mais chaque visite est programmée de sorte que la patiente ne soit assignée qu’à une seule ressource en même temps.
Nous cherchons donc une méthode de résolution qui nous permet de minimiser les temps de planification et d’attente ainsi que les coûts annexés au processus de prise en charge de la maternité à domicile. Pour atteindre cet objectif, nous implémentons le modèle mathématique développé dans le logiciel de modélisation des systèmes GAMS (General Algebraic Modeling System).
Complexité du problème
Nous remarquons qu’avec ce modèle en variables binaires on a une augmentation de la complexité (2*i*j*k*t variables binaires à instancier) en considérant les deux variables binaires X (pour les visites effectuées en heures normales) et Y (pour les visites effectuer en heures supplémentaires).
Par exemple, supposons qu’on a 40 patientes à visiter à raison de 7 visites par patientes, cela donne un nombre total de 200 visites à effectuer. En considérant que ses visites sont effectuées par 10 sages-femmes sur 10 périodes, cela donne donc 2*40*7*10*10 =56 000 variables à gérer pour X et Y.
Avec cette explosion combinatoire, le modèle mathématique devient très important en taille, ce qui augmente sa complexité pour une simple résolution sur Excel par exemple. Pour le résoudre, je propose une simplification en un modèle réduit. Cette reformulation en modèle réduit est implémentée dans la plateforme de modélisation GAMS.
Questions Fréquemment Posées
Comment l’optimisation des soins à domicile peut-elle améliorer le système de santé en Haïti ?
L’objectif principal est de développer une alternative viable à l’hospitalisation classique pour améliorer la prise en charge de la maternité.
Qu’est-ce que le problème de lot-sizing dans le contexte des soins à domicile ?
Le problème de lot-sizing est utilisé pour déterminer un plan de prestation de service d’un ensemble de visites médicales chez les patientes pour un horizon de planification constituée de T périodes.
Quels outils sont utilisés pour modéliser le système hospitalier haïtien ?
L’étude utilise des outils comme les réseaux de Petri, le logiciel ARENA et des algorithmes d’optimisation linéaire mixte.