L’optimisation des systèmes de santé révèle des défis cruciaux dans les pays en développement, notamment en Haïti où les taux de mortalité maternelle et infantile sont alarmants. Cette recherche propose une modélisation innovante qui pourrait transformer la prise en charge de la maternité, avec des implications significatives pour l’avenir des soins.
Optimisation linéaire du modèle réduit
Le problème de lot-sizing, faisant partie des problèmes NP-difficiles (Florian M. et al., 1980; Bitran G. et Yanasse H.H. 1982), semble être difficile à résoudre en appliquant les approches technologiques que nous avons sous la main. Les auteurs ci-mentionnés ont proposé une procédure pseudo- polynomiale pour résoudre un problème de lot-sizing.
L’une des méthodes les plus efficaces quand le lot-sizing paraît NP-difficiles est la relaxation Lagrangienne. En effet, en relaxant les contraintes de ressources du problème de lot-sizing multi-level sous contraintes de capacité et de temps de mise en route, on retombe sur plusieurs sous-problèmes de type lot-sizing sans contraintes de capacité qui sont faciles à résoudre (Chen W.H., Thizy J.M.
1990; Absi, 2005). Par contre, (Chen H. et al., 1994) ont prouvé pour leur part que le problème de lot-sizing n’est pas NP-difficile.
Vu que le premier modèle ne peut pas être résolu par gamme à cause de cette explosion combinatoire que nous avons mentionné plus haut. Ainsi nous sommes obligé de reformuler ce dernier en un modèle réduit. Pour atteindre notre objectif, nous avons reformulé le problème d’affectation des ressources en programmation linéaire mixte, communément appelé en anglais Mixed-Integer Programming (MIP).
La programmation linéaire mixte désigne les problèmes d’optimisation linéaire faisant intervenir plusieurs types de variables dont les variables réelles et binaires (Clark A.R. 2003; Kelly J.D. 2002; Mercé C. et Fontan G. 2003; Absi N. 2006) . En effet, la programmation Linéaire utilisée dans la planification des systèmes de production de biens ou de services n’est pas un outil récent.
Appliquée par George Dantzig (Dantzig G. B. 2002) dans sa méthode du simplexe dans les années 1940, la programmation linéaire trouve ses origines dans les travaux du mathématicien Fourier. Cette approche est encore aujourd’hui très éprouvée pour résoudre des problèmes d’optimisation linéaire de grande taille (plusieurs centaines de milliers ou millions d’inconnues).
Elle peut être implémentée sur de nombreux solveurs commerciaux de renommée mondiale comme ILOG- CPLEC, FICO-XPRESS-MP, GUROBI, etc.et aussi bien sur des produits libres comme le LP-SOLVE, GAMS, etc.
Cette démarche nous permet d’implémenter notre modèle sur la plateforme de modélisation GAMS en utilisant le solveur de programmation linéaire en nombres entiers CPLEX qui est déjà intégré dans ce logiciel. Le temps d’exécution pour traiter les problèmes lot-sizing dans une méthode exacte étant trop long (Absi, 2005). Il importe de trouver d’autres heuristiques pouvant permettre d’obtenir une solution plus ou moins exacte au problème lot-sizing.
La programmation linéaire mixte ou MIP (notation anglaise), issue des heuristiques hybrides mixant les approches branch-and-bound et les heuristiques Juste-À-Temps ou JIT (traitant les problèmes période par période), peut traiter notre problème de planification et d’ordonnancement des activités en décomposant celui-ci en des sous-problèmes de plus petites tailles. Nous avons, par conséquent, reformulé notre problème de lot-sizing en programmation linéaire mixte (MIP) en vue de simplifier sa résolution.
Argumentation/ affectation sur un ensemble de patiente d’un même quartier: Il faut dire que l’objet de la décision est relative à l’adéquation charge / capacité dans un même quartier.
Cette reformulation est décrite comme suit :
Ensembles et indices
k∈K visites ou interventions médicales
j∈J Ressources sages-femmes
Paramètres :
I
∑
i=1
ai
Les visites médicales en attente d’affectation sur l’horizon de temps T pour I (l’ensemble des patientes localisées dans un même quartier).
gj Capacité horaire disponible de la ressource sage-femme j sur l’horizon de temps T.
sjk Coût d’une visite médicale k effectuée par la ressource j.
tpkj La durée d’une visite médicale k effectuée par la sage-femme j, incluant les trajets.
Variable de décision
Xkj∈{0, 1} Variable binaire qui prend la valeur 1 si la visite médicale k est affectée à la ressource j, et 0 sinon.
Formulation des contraintes
Contrainte de capacité des ressources
∑(tpkj * Xkj) ≤ gj ∀j
k∈K
Contrainte de la satisfaction de la demande
I
∑ Xkj ≥ ∑ ai
∀k
j i=1
Contrainte de choix
∑ Xkj = 1 ∀k
j
Contrainte de non-négativité
Xkj ≥ 0 ∀j, k
La fonction objective
La fonction objective consiste à trouver une solution réalisable qui minimise le coût d’affectation des ressources pour l’accompagnement de la maternité dans notre plateforme de prise en charge à domicile.
Z = ∑ ∑(sjk * Xkj)
k∈K j∈J
Ce modèle réduit de programmation linéaire mixte va être implémenté dans le logiciel GAMS. L’objectif consisterait à affecter la ressource sage-femme de sorte que le coût de prise en charge soit minimisé. Un exemple simple va nous permet de vérifier la validité de notre modèle.
Comme tout problème d’affectation de ressources où l’objectif consiste à affecter n tâches à m personnes, l’objectif consistera ici également à affecter des sages-femmes à des visites médicales chez les femmes enceintes. Nous voulons qu’une tâche soit effectuée par une seule personne (ressource). Le coût de prise en charge de la patiente i par la ressource j est donné par la matrice sjk. Nous voulons donc minimiser le coût de prise en charge de la maternité à domicile. Et pour évaluer la performance de notre approche, nous avons modifié le contenu de certains paramètres pour voir l’impact que cela pourrait avoir sur le résultat initial.
Questions Fréquemment Posées
Comment la programmation linéaire mixte peut-elle aider à l’optimisation des systèmes de santé en Haïti ?
La programmation linéaire mixte, ou MIP, permet de traiter le problème de planification et d’ordonnancement des activités en décomposant celui-ci en des sous-problèmes de plus petites tailles, facilitant ainsi la résolution.
Quelles méthodes sont utilisées pour résoudre le problème de lot-sizing dans les systèmes de santé ?
L’une des méthodes efficaces est la relaxation Lagrangienne, qui permet de résoudre plusieurs sous-problèmes de type lot-sizing sans contraintes de capacité, rendant le problème plus facile à gérer.
Quels outils sont mentionnés pour la modélisation des systèmes de santé en Haïti ?
L’étude utilise des outils comme les réseaux de Petri, le logiciel ARENA et des algorithmes d’optimisation linéaire mixte pour modéliser le système hospitalier haïtien.