L’analyse comparative de la fiabilité révèle que l’optimisation de la maintenance préventive d’une pompe centrifuge peut réduire de manière significative les temps d’arrêt imprévus. Cette recherche offre des solutions innovantes, essentielles pour améliorer la disponibilité opérationnelle dans l’industrie minière.
Généralité sur la Fiabilité, Maintenabilité et Disponibilité (FMD)
La fiabilité, la maintenabilité et la disponibilité sont des concepts clés dans le domaine de l’ingénierie et de la gestion des systèmes.
Introduction
L’exécution de la maintenance dans une entreprise industrielle est d’une importance capitale pour maintenir les équipements en état de bon fonctionnement. La maintenance, dans sa plus large définition, est l’ensemble de toutes les opérations de gestion, de programmation et d’exécution.
Le calcul de la fiabilité d’un équipement constitue un outil incontournable pour évaluer l’efficacité de n’importe quelle entité. Les concepteurs et les utilisateurs sont souvent confrontés à des contraintes par pauvreté ou par manque de modèles permettant de faire des études prévisionnelles correctes. [10]
Concepts de la FMD
Fiabilité
La fiabilité caractérise l’aptitude d’un système ou d’un matériel à accomplir une fonction requise dans des conditions données pendant un intervalle de temps donné. [10]
Paramètres nécessaires à la mesure de fiabilité
- Fonction de fiabilité
Nous appelons R(t) la fonction de fiabilité, qui représente la probabilité de fonctionnement sans défaillances pendant un temps (t), ou la probabilité de survie jusqu’à un temps (t).
Avec
𝑅(𝑡) = 𝑒−(
- γ : Le paramètre de position
- η : Le paramètre d’échelle
- β : Le paramètre de forme
𝑡−𝛾 𝛽
𝜂 )
(2.1)
Fonction de répartition
La fonction de répartition F (t) est la probabilité que le dispositif soit en panne à l’instant
t. Elle est exprimée par :
𝐹(𝑡) = 1 − 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑒−(
𝑡−𝛾 𝛽
𝜂 )
(2.2)
MTBF
Le temps moyen jusqu’à défaillance (ou moyenne des temps de bon fonctionnement) est :
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑀𝑇𝐵𝐹 = (2.3)
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
Taux de défaillance :
t
𝑀𝑇𝐵𝐹 = ∫ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡
0
(2.4)
D’après le théorème des probabilités conditionnelles cette probabilité est égale à :
𝐹(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝐹(𝑡) 𝑑𝐹(𝑡)
𝜆(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑅(𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) (2.5)
Avec 𝜆(𝑡) taux de défaillance de la pièce d’âge t. Nous avons donc :
𝑓(𝑡)
𝜆(𝑡) = 𝑅(𝑡) (2.6)
Ou bien :
𝜆(𝑡) = 𝛽
𝜂
𝑡−𝛾
(
𝜂
𝛽−1
) (2.7)
L’expérience montre que pour la plupart des composants, le taux de défaillance suit une courbe en baignoire représenté par la figure 2-2 :
[6_analyse-comparative-de-la-fiabilite-des-pompes-centrifuges_14]
Figure 2-2: Courbe en baignoire [1].
Cette courbe représente trois périodes :
La période de jeunesse ou de rodage :
Correspond à l’apparition de défaillances, dues à des malfaçons ou à des contrôles insuffisants. Dans la pratique, le fabriquant procède à un rodage de son matériel afin d’éviter que cette période ne se produise après l’achat du matériel. [1]
La période de bon fonctionnement :
Dans cette période, le taux d’avaries est sensiblement constant, les avaries surviennent de manière aléatoire et ne sont pas prévisibles par examen du matériel ; ces défaillances sont dues à un grand nombre de causes et sont liées à la fabrication des dispositifs. [1]
La période de vieillissement :
Le taux d’avaries est croissant, cette période correspond à une dégradation irréversible des caractéristiques du matériel, d’où une usure progressive. [1]
La densité de probabilité
La densité de probabilité ƒ(t) se calcule par l’expression suivante :
𝑓(𝑡) = 𝜆(𝑡) ∗ 𝑅(𝑡) =
Modèles de fiabilité
𝛽 𝑡 − 𝛾 (
𝜂 𝜂
𝛽−1
)
−(
. 𝑒
𝑡−𝛾 𝛽
𝜂 )
(2.8)
Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. Une loi de probabilité est un modèle représentant « au mieux », une distribution de fréquences d’une variable aléatoire. [10]
Loi de Wei bull
La loi de Wei Bull est utilisée en fiabilité, en particulier dans le domaine de la mécanique. Cette loi a l’avantage d’être très souple et de pouvoir s’ajuster à différents résultats d’expérimentations. [1]
La loi de Wei bull est une loi continue à trois paramètres :
- Le paramètre de position γ qui représente le décalage pouvant exister entre le début de l’observation (date à laquelle on commence à observer un échantillon) et le début du processus que l’on observe (date à laquelle s’est manifesté pour la première fois le processus observé).
- Le paramètre d’échelle η qui, comme son nom l’indique, nous renseigne sur l’étendue de la distribution.
- Le paramètre de forme β qui est associé à la cinétique du processus observé.
Application à la fiabilité
La distribution de Wei bull est souvent utilisée dans le domaine de l’analyse de la durée de vie, grâce à sa flexibilité car elle permet de représenter au moins approximativement une infinité de lois de probabilité.
Un taux de panne croissant suggère une usure ou un problème de fiabilité : les éléments ont de plus en plus de chances de tomber en panne quand le temps passe.
Suivant les valeurs de β, le taux de défaillance est :
- Soit décroissant (β < 1),
- Soit constant (β = 1),
- Soit croissant (β > 1).
- Soit 1.5< β< 2.5 → exprime un phénomène de fatigue.
- Soit 3 < β< 4 → exprime un phénomène d’usure.
La distribution de Wei bull permet donc de représenter les trois périodes de la vie d’un dispositif (courbe de baignoire).
Le cas γ > 0 correspond à des dispositifs dont la probabilité de défaillance est infime jusqu’à un certain âge γ. [1]
Papier de Wei bull
Ce papier de Wei bull sert à lire graphiquement les paramètres d’une loi de Wei bull dans le cas où le paramètre γ est nul.
Echelles utilisées sur le papier de Wei bull :
- Abscisse haute : échelle naturelle en X
- Abscisse intermédiaire : échelle logarithmique (lecture du paramètre t)
- Abscisse basse : échelle logarithmique (on fait correspondre à chaque valeur de t son logarithme népérien ln t).
- Ordonnée gauche : on place les valeurs de F (t) en pourcentage en échelle :
Y = ln(− ln(1 − 𝐹(𝑡))) (2.10)
- Ordonnée sur l’axe X = -1 (lecture du paramètre) : ce sont les valeurs
𝑥 = ln(𝑡) (2.11)
[6_analyse-comparative-de-la-fiabilite-des-pompes-centrifuges_15]
Figure 2-3: Papier de Wei bull. [1]
Signification des paramètres
- Paramètre d’échelle êta η : Ce paramètre permet d’utiliser le papier d’Allan Plait quel que soit l’ordre de grandeur de t. Il n’a donc pas à être interprété.
- Paramètre de forme bêta β : Ce paramètre donne des indications sur le mode des défaillances et sur l’évolution du taux de défaillances dans le temps.
Procédé de calcul
- Préparation des données :
- Calcul des Temps de bon fonctionnement.
- Classement des temps de bon fonctionnement en ordre croissant.
- Recherche des données F (i), F(i) représente la probabilité de panne au temps correspondant au Temps de bon fonctionnement de l’ième défaillant. On a 3 cas différents :
- Si N > 50, regroupement des Temps de bon fonctionnement par classes avec la fréquence cumulée :
𝐹(𝑖) =
𝑁𝑖
𝑁
∑ 𝑅𝑖
=
𝑁
≈ 𝐹(𝑡) (2.12)
- Si 20 < N < 50, On affecte un rang « Ni » à chaque défaillance (approximation des rangs Moyens)
𝐹(𝑖) =
𝑁𝑖
𝑁 + 1
≈ 𝐹(𝑡) (2.13)
- Si N < 20, On affecte un rang « Ni » à chaque défaillance (approximation des rangs médians) :
𝐹(𝑖) =
𝑁𝑖 − 0.3
𝑁 + 0.4
≈ 𝐹(𝑡) (2.14)
Et on fait le Tracé du nuage des points M (F(i), t)
Recherche de γ :
Si le nuage de points correspond à une droite, alors gamma = 0. (γ = 0)
Si le nuage de points ne correspond pas à une courbe, on la redresse par une translation de tous les points en ajoutant ou en retranchant aux abscisses « t », une même valeur (gamma) afin d’obtenir une droite comme le montre la figure suivante.
[6_analyse-comparative-de-la-fiabilite-des-pompes-centrifuges_16]
Figure 2-4: Redressement de la courbe par translation. [1]
Ce redressement peut se faire par tâtonnement ou avec la relation :
Considérons les points :
𝑋3 ∗ 𝑋1 − 𝑋2
𝛾 =
2
𝑋3 + 𝑋1 − 2𝑋2
(2.15)
A (X1, Y1) ; B (X2, Y2) ; C (X3, Y3)
{ 𝑌3 > 𝑌2 > 𝑌1 2𝑌2 = 𝑌1 + 𝑌3
En arrangeant on obtient :
𝛾 = 𝑋2
(𝑋3 − 𝑋2). (𝑋2 − 𝑋1)
− (𝑋 − 𝑋 ) − (𝑋 − 𝑋 )
3 2 2 1
(2.16)
Recherche de η :
La droite de régression linéaire coupe l’axe A à l’abscisse t = η.
Recherche de β :
Bêta est la pente de la droite de corrélation. On trace une droite parallèle à la droite de corrélation, et passant par η = 1 On lit ensuite bêta sur l’axe bêta est sans dimension.
[6_analyse-comparative-de-la-fiabilite-des-pompes-centrifuges_17]
Figure 2-5: Recherche de bêta. [1]
Test de KOLMOGOROV SMIRNOV (K-S)
Avant la validation de toutes les Lois de fiabilité, il est nécessaire de tester l’hypothèse pour savoir si nous devrons accepter ou rejeter le modèle proposé par le test de K-S avec un seuil de confiance de = 20%. Ce test consiste à calculer l’écart entre la fonction théorique Fe(ti) et la fonction réelle F(t) et prendre le maximum en valeur absolue Dn.max.
Cette valeur est comparée avec Dn. Qui est donnée par la table de Kolmogorov Smirnov (voir annexe1). Si Dn.max. > Dn. On refuse l’hypothèse.[1]
La fiabilité d’un système
La détermination de la fiabilité d’un système électronique, mécanique ou autre nécessite tout d’abord de connaître la loi de la fiabilité (ou la loi de défaillance) de chacun des composants intervenant dans le système.
La fiabilité des systèmes constitués de plusieurs composants
- En série
La fiabilité Rs d’un ensemble de n constituants connectés en série est égale au produit des fiabilités respectives RA, RB, RC… Rn de chaque composant.
𝑅𝑠 = 𝑅𝐴. 𝑅𝐵. 𝑅𝐶 … . 𝑅𝑛 (2.17)
Si les “n” composants sont identiques avec une même fiabilité R la formule sera la suivante :
𝑅𝑆 = 𝑅𝑛 (2.18)
[6_analyse-comparative-de-la-fiabilite-des-pompes-centrifuges_18]
Figure 2-6: Composants en série.
Si les taux de défaillances sont constants au cours du temps, la fiabilité sera calculée suivant la formule :
Avec :
𝑅𝑆 = (𝑒−𝜆𝐴𝑡). (𝑒−𝜆𝐵𝑡). (𝑒−𝜆𝐶𝑡) … (𝑒−𝜆𝑛𝑡) (2.19)
1
𝑀𝑇𝐵𝐹𝑠 =
𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 + 𝜆𝐶 … 𝜆𝑛
(2.20)
Si en plus, les composants sont identiques : 𝜆𝐴 = 𝜆𝐵 = 𝜆𝐶 = ⋯ = 𝜆𝑛
Alors :
𝑹(𝒔) = (𝒆−𝒏𝜆𝒕) (2.21)
1
En parallèle
𝑀𝑇𝐵𝐹𝑠 =
𝑛 ∗ 𝜆
(2.22)
La fiabilité d’un système peut être augmentée en plaçant les composants en parallèle. Un dispositif constitué de n composants en parallèle ne peut tomber en panne que si les n composants tombent en panne au même moment.
Si Fi est la probabilité de panne d’un composant, la fiabilité associée Ri est son complémentaire :
𝐹𝑖 = 1 − 𝑅𝑖 (2.2)
Fi représentant la fiabilité associée.
[6_analyse-comparative-de-la-fiabilite-des-pompes-centrifuges_19]
Figure 2-7: Composants en parallèle.
Soit les n composants de la figure ci-dessous montés en parallèle. Si la probabilité de panne pour chaque composant repéré (i) est notée Fi alors :
𝑅𝑆 = 1 − (1 − 𝑅)𝑛 (2.23)
Le cas particulier de deux dispositifs en parallèle si λ est constant RS est obtenu par :
𝑅𝑆 = 1 − (1 − 𝑅𝐴). (1 − 𝑅𝐵) = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 − 𝑅𝐴. 𝑅𝐵 = 𝑒−𝜆𝐴𝑡 + 𝑒−𝜆𝐵𝑡 − 𝑒−(𝜆𝐴+𝜆𝐵)𝑡 (2.24)
________________________
10 Wikipédia, dernière modification le 15 mai 2021. ↑
1 Wikipédia, dernière modification le 15 mai 2021. ↑
Questions Fréquemment Posées
Qu’est-ce que la fiabilité d’un système?
La fiabilité caractérise l’aptitude d’un système ou d’un matériel à accomplir une fonction requise dans des conditions données pendant un intervalle de temps donné.
Comment se calcule le temps moyen jusqu’à défaillance (MTBF)?
Le temps moyen jusqu’à défaillance (MTBF) est calculé par la moyenne des temps de bon fonctionnement divisée par le nombre d’intervalles temps de bon fonctionnement.
Quels sont les trois périodes de la courbe de défaillance?
Les trois périodes de la courbe de défaillance sont la période de jeunesse ou de rodage, la période de bon fonctionnement, et la période de vieillissement.