Les modèles de régression spatiale sont au cœur de l’analyse économétrique des interactions spatiales, comme le montre cet article qui explore les développements récents de la littérature et propose une application empirique sur les déterminants du chômage en Tunisie.
La spécification du modèle :
L’approche classique consiste à utiliser un modèle de régression linéaire, en tenant compte d’une éventuelle autocorrélation spatiale des termes d’erreurs. Nous présen- tons tout d’abord la spécification habituellement employée en pratique, le modèle log- linéaire, puis nous étudions la présence éventuelle d’autocorrélation spatiale dans les aléas du modèle.
Modèle a-spatial :
Ce paragraphe présente l’analyse économétrique de données en coupe transversale pour étudier les effets directs des facteurs socio-économiques et d’infrastructure sur le chômage, autrement dit on omet dans ce travail les interactions possibles avec les condi- tions institutionnelles mais également les dysfonctionnements du marché de l’emploi.
Les principaux déterminants du chômage sont introduits dans une équation de forme réduite dans un modèle linéaire de la manière suivante :
ch = β1X1 + β2X2 + . . . + βKXK + ε (2.1)
avec où X1, . . . , XK sont les variables explicatives du modèle, β1, . . . , βK les para- mètres inconnus et ε les termes d’arreur. Dans ce modèle, pour de faibles variations de ch et Xk , la valeur du coefficient βk mesure la variation relative du chômage, consécutive à un changement d’une unité de la caractéristique Xk. Les termes d’erreur sont sup- posés indépendants et identiquement distribués (i.i.d.) ainsi le modèle (2.1) est estimé par Moindres Carrés Ordinaires (MCO).
Modèles spatiaux :
Le niveau du chômage d’une délégation n’est pas seulement le fruit d’une combi- naison d’attributs qui lui sont propres. En effet, la localisation géographique peut avoir un effet important sur la variable endogène. Une manière de capturer ce type d’effet consiste à introduire des régresseurs dans le modèle. Si elles sont disponibles, d’autres mesures telles que l’accessibilité au centre-ville (distance ou proximité au centre-ville, à l’autoroute, au métro, etc.) ou sur l’emploi (marché de l’emploi, les négociations salariales, les couvertures et les indemnités etc.) peuvent
être utilisées. Néanmoins, l’in- troduction de l’autocorrélation spatiale dans le modèle de régression linéaire conduit au relâchement de certaines de ces hypothèses. Cette introduction peut s’effectuer de plu- sieurs manières : par des variables spatiales décalées ou par une autocorrélation spatiale des erreurs.
Modèle autorégressif spatial : variable endogène décalée
La première manière de prendre en compte l’autocorrélation spatiale peut se faire grâce au modèle autorégressif spatial (LAG : Spatial Lag Model) : une « variable endo- gène décalée » est incluse dans le modèle (2.1). Le modèle LAG s’écrit dans ce cas de la façon suivante :
ch = ρWch + Xβ + ε (2.2)
Wch est la variable endogène décalée pour la matrice de poids W , ρ est le paramètre spatial autorégressif indiquant l’ampleur de l’interaction existant entre les observations de ch. Dans ce modèle, l’observation chi est partiellement expliquée à travers les valeurs
prises par ch dans les régions voisines (Wch)i = Σi/=j wijyj. . La matrice W étant
standardisée, cette valeur s’interprète comme la moyenne des valeurs de ch sur les observations voisines à i. Si la matrice (I − ρW ) est non-singulière, on peut réécrire le modèle (2.2) comme suit :
ch = (I − ρW )−1Xβ + (I − ρW )−1ε (2.3)
avec l’espérance E(ch) = (I − ρW )−1Xβ
et la variance V (ch) = σ²[((I − ρW 𝘫)((I − ρW )]−1
Modèle avec autocorrélation spatiale des erreurs :
Le modèle SEM (Spatial Error Model) suppose que le terme d’erreur est spatia- lement dépendant. Cette deuxième façon d’incorporer l’intéraction spatiale dans un modèle de régression consiste à spécifier un processus spatial pour les erreurs. L’au- tocorrélation spatiale est alors modélisée avec un terme d’erreur qui suit un processus spatial autorégressif :
ch = Xβ + ε
ε = λWϵ + u
(2.4)
où ε est un bruit blanc et X est une matrice composée de variables explicatives. La détection d’autocorrélation spatiale dans le terme d’erreur indique souvent un problème de spécification du modèle, telle que l’omission de variables explicatives. L’effet spatial, qui n’est pas complètement capturé par les régresseurs, se répercute alors dans le terme d’erreur.
De la formulation (2.4), il s’en suit que :
avec l’espérance E(ch) = E(ε) = E[(I − λW )−1uu𝘫(I − λW 𝘫)−1
et la variance V (ch) = V (ε) = σ²[((I − λW )𝘫((I − λW )]−1
Choix du modèle spatial :
Le choix d’un modèle plutôt qu’un autre se fait à l’aide de tests de spécification de la section (1.4). Dans un premier temps, on peut utiliser des statistiques de tests LM standards :
MLλ permet de tester l’hypothèse nulle H0 : λ = 0 à partir du modèle (2.4),
MLρ permet de tester l’hypothèse nulle H0 : ρ = 0 à partir du modèle (2.2).
Dans le cas où les deux tests conduisent au rejet de l’hypothèse nulle, cela conduit à suspecter un problème d’autocorrélation spatiale, mais cela ne permet pas de sélection- ner l’un des deux modèles, LAG ou SEM. On est alors amené, dans un deuxième temps, à tester la présence d’autocorrélation spatiale à partir d’un modèle plus général. Les
deux modèles SEM et LAG peuvent en effet être combinés, ils sont des cas particuliers du modèle suivant :
ch = ρWch + Xβ + u
u = λWu + ε
(2.5)
On teste la présence d’autocorrélation spatiale d’une certaine forme, robuste à la présence d’une autre forme :
RMLλ permet de tester l’hypothèse nulle H0 : λ = 0 à partir du modèle (2.5),
RMLρ permet de tester l’hypothèse nulle H0 : ρ = 0 à partir du modèle (2.5).
Le non-rejet de l’hypothèse nulle par l’un des deux tests permet de sélectionner un modèle.
En effet, Anselin et Rey (1991) et Florax et Folmer (1992) suggèrent de choisir l’un ou l’autre modèle (100) ou (102) en appliquant la règle de décision simple suivante :
- Si le test du modèle autorégressif n’aboutit pas au rejet de l’hypothèse nulle alors que le test de l’autocorrélation des erreurs rejette l’hypothèse nulle, ou si les deux tests aboutissent au rejet de l’hypothèse nulle et que le second est plus significatif que le premier, on choisit le modèle avec autocorrélation des erreurs.
- Si le test du modèle autorégressif aboutit au rejet de l’hypothèse nulle, ou si les deux tests aboutissent au rejet de l’hypothèse nulle et que le premier test est plus significatif que le test de l’autocorrélation des erreurs, on choisit le modèle autorégressif.