Analyse des méthodes d’estimation en économétrie spatiale

Les méthodes d’estimation en économétrie, notamment les méthodes des moments et les variables instrumentales, sont explorées dans le contexte de l’économétrie spatiale. L’article présente des développements récents et une application empirique sur les déterminants du chômage en Tunisie.

La méthode des moments et les variables instrumentales :

Diverses méthodes d’estimation alternatives sont proposées dans la littérature visant à éviter la programmation des fonctions de vraisemblance. Ces alternatives s’inscrivent dans famille des méthodes des moments dont les variables instrumentales et la méthodes des moments généralisée. Cette approche, ne nécessitant pas d’hypothèse de normalité, permet de parer aux problèmes de calculs associés à un maximum de vraissemblance relatif à un échantillon de grande taille.

Les Doubles Moindres Carrés Spatiaux DMCS :

La méthode des variables instrumentales (VI) est utilisée lorsque certaines variables explicatives sont corrélées avec les erreurs. Dans ce cas, les estimateurs fournis par les MCO ne sont pas convergents.

Formellement, le modèle de décalage spatial [1.2] se réécrit de la manière suivante :

y = Zγ + ε (1.68)

avec Z = [Wy, X] et γ = [ρ, β]. Il s’agit d’une spécification générale d’un modèle de régression linéaire comprenant à la fois des variables endogènes Wy et des variables exogènes X .

Une solution classique au problème d’endogénéité consiste à utiliser des variables instrumentales. Dans la première étape des DMC, la valeur obtenue pour Z dans une regression sur les instruments est :

Zˆ = Q(Q^𝘫Q)−1Q^𝘫Z (1.69)

avec Q la matrice des instruments (y compris les variables exogènes X) de taille n × q et q ≥ k + 1. Ceci n’as pas d’impact sur X et mène à :

W y = Q(Q^𝘫Q)−1Q^𝘫Wy (1.70)

L’instrument Zˆ remplace Z dans la deuxième étape qui permet d’obtenir l’estimateur de γ par les DMCS :

γˆ_DMCS = [Zˆ𝘫Zˆ]−1Zˆ𝘫y (1.71)

Autrement :

γˆ_DMCS = [Z^𝘫Q(Q^𝘫Q)−1Q^𝘫Z]−1Z^𝘫Q(Q^𝘫Q)−1Q^𝘫y (1.72)

On démontre que cet estimateur est convergent et asymptotiquement distribué selon une loi normale d’espérance mathématique nulle et de matrice des variances-covariances asymptotique :

AsyV (γˆ_DMCS) = σˆ2[Z^𝘫Q(Q^𝘫Q)−1Q^𝘫Z]−1 (1.73)

avec σˆ2 = (y − Zγˆ_DMCS)𝘫(y − Zγˆ_DMCS)/n. Le recours à la technique des variables instrumentales dans l’estimation des modèle de décalage spatial ainsi que quelques suggestions ad-hoc pour la sélection des instruments ont été décrits dans Anselin [1988b]. Le choix d’un décalage spatial des valeurs prédites de Y (en utilisant uniquement les variables exogènes) ou de l’espace des variables exogènes retardées a été pris en considération.

Des travaux récents ont porté sur la sélection des «optimale» des instruments dans le contexte d’un modèle à la fois avec un décalage spatial et auocorrélation spatiale des erreurs. D’abord, Lee [2003] a suggéré d’utiliser la matrice d’instruments optimale dans le cadre d’une spécification simple du modèle décalage spatial pur, sans l’autocorrélatio d’erreur :

Q = [X, W (I − ρˆW )−1Xβˆ] (1.74)

les valeurs de ρˆet βˆ sont obtenues au préalable dans la première étape d’estimation en utilisant WX comme instrument. Pour éviter l’inversion d’une matrice de taille n×n, Kelejian et Prucha [2004] introduisent une approximation en série avec la matrice des instruments :

Q = [X, ρˆsW ^s+1Xβ] (1.75)

les valeurs de ρˆet βˆ sont obtenues au préalable dans la première étape d’estimation comme dans l’approche de Lee[2003]. Le rang le plus élevé dans l’approximation est lié à la taille de l’échantillon avec r = n^αpour des valeurs de 0.25, 0.35 et 0.45.

Autocorrélation spatiale comme paramètre de nuisance :

L’une des propriétés de base des MCGR est l’obtention d’un estimateur convergent des paramètres de la covariance des erreurs pour estimer β dans une seconde étape [1.59]. Cette approche présente les paramètres relatifs à la matrice de variance-covariance des erreurs comme des paramètres de nuisance du fait que ces derniers constituent un interet de secondaire. Toutesfois, leurs utilisations permet d’améliorer les propriétés de βˆ.

Kelejian et Prucha [1999] suggèrent une approche par les moments généralisés pour obtenir une estimation convergente du paramètre λ d’un processus spatial autoregressif ε = λWε + u avec u i.i.d. de variance σ². En se basant sur la propriété TrW = 0, trois conditions sur les moments de u découlent comme suit :

E[(1/n)u^𝘫u] = σ² (1.76)

E[(1/n)u^𝘫W ^𝘫Wu] = (1/n)σ²Tr(W ^𝘫W ) (1.77)

E[(1/n)u^𝘫W ^𝘫u] = 02 (1.78)

Ces conditions peuvent être exprimées par les termes d’erreurs de la regression ε en sachant que u = ε − λWε et Wu = Wε − λWWε . En procédant à des manipulations algébriques et une identification des par rapport à aux résidus de l’échatillon e, aux décalages spatiaux de premiers ordres We et aux décalages de second ordre WWe, on peut réécrire ces conditions comme un système de trois équations dont les inconnues sont λ, λ²et σ² :

 (2/n)e^𝘫←e (−1/n)^←e 𝘫←e 1   λ 

λ2

 (1/n)e^𝘫e 

 (2/n)^⇐e 𝘫←e (−1/n)^⇐e 𝘫⇐e (1/n)T r(W ^𝘫W )  

 

= (1/n)^←e 𝘫←e

(1.79)

 (1/n)(e^𝘫⇐e + ^←e 𝘫←e ) (−1/n)^←e 𝘫⇐e 0   σ2 

 (1/n)e^𝘫←e 

avec ^←e = We et ^⇐e = WWe. Ce système peut être résolu pour λet σ² moyennant des moindres carrés non-linéaires. Le résultat λˆ est ensuite repris dans l’expression [1.63] des moindres carrés avec filtrage spatial.

Néanmoins, cette approche ne permet pas l’inférence relative au coefficient λ puisqu’il n’existe pas de variance asymptotique pour λˆ.

Décalage spatial avec des erreurs SAR :

L’estimateur issu de la méthode des moments généralisés peut être utilisé pour les résidus d’une estimation par les doubles moindres carrés. C’est dans ce cardre que le travail de Kelejian et Prucha [1998] s’inscrit, le modèle étant un décalage spatial avec autocorrélation des termes d’erreur similaire à [1.42] :

y = Zγ + (I − λW₂)−1u (1.80)

avec Z = [W₁y, X] et γ = [ρ, β]. [1.80] peut être réécrite en :

y − λW₂y = Z − λW₂Z + u (1.81)

ou alors :

y_L = Z_Lγ + u (1.82)

avec y_L et Z_L sont des variables avec filtrage spatial analogues aux variables transformées dans la régression avec filtrage spatial. Le premier terme de Z_L est (W₁y)_L = W₁y − λW₂W₁y .

L’estimateur par les doubles moindres carrés spatiaux généralisés (DMCSG) développé par Kelejian et Prucha [1998] se formule en trois étapes. La première étape est une estimation par doubles moindres carrés spatiaux, comme dans [1.72]. La deuxième étape consiste à substituer les résidus e = y − Zγˆ_DMCS dans le système d’équations [1.73], en utilisant les poids W₂ du processus d’erreur. La solution du système par moindres carrés non linéaires fournit un estimateur convergent λˆ du paramètre autorégressif. Ensuite, les valeurs de λˆ sont placées dans le filtre spatial pour obtenir y_L et Z_L. La dernière étape consiste en une seconde estimation par les doubles moindres carrés en utilisant les variables spatialement filtrées et les instruments :

Z^L = Q(Q^𝘫Q)−1QZL (1.83)

l’estimateur étant :

γˆ_DMCSG = [Z^L Z^L]−1 Z^L y (1.84)

La procédure d’estimation peut également être réitéré en remplaçant les résidus de l’estimation DMCSG dans le système d’équations [1.73] pour donner une nouvelle valeur de λˆ. La variance asymptotique de l’estimateur est déductible usuellement. Il est à noter que les instruments se résument à remplacer (W₁y)_L dans Z_L par les valeurs prédites :

(Wˆ1y)_L = Q(Q^𝘫Q)−1Q^𝘫(W₁y − λˆW₂W₁y) (1.85)