Analyse de la flexion électro-magnéto-élastiques d’une coque à double courbure basée sur la théorie raffinée de déformation par cisaillement (HSDT)
Les travaux examinent le comportement magnéto-électro-élastique en flexion de coques à double courbure constituées de deux couches. L’étude utilise une théorie expo-sinusoïdale à cinq variables pour modéliser la déformation par cisaillement transverse et les variations d’épaisseur. Le principe des travaux virtuels est employé pour établir les équations gouvernantes de la flexion. Une analyse paramétrique explore l’influence du paramètre de porosité et des potentiels électrique et magnétique sur la réponse des coques.
Université Abdelhamid Ibn Badis – Mostaganem
Faculté des Sciences et Technologie
Département de Génie Mécanique
MEMOIRE DE FIN D’ETUDE
Master académique
Filière : Génie Mécanique
Spécialité : Construction Mécanique
Présenté par : Analyse de la flexion électro-magnéto-élastiques d’une coque à double courbure, basée sur la théorie raffinée de déformation par cisaillement (HSDT)
BENIDRIS Kaoutar & BERBER Djenette Ines
Soutenu le 25/06/2025 devant le jury composé de :
PrésidentDr. F.Z. ZaouiUniversité de MostaganemExaminateurDr. A. BelhachemiUniversité de MostaganemEncadreurPr. D. OuinasUniversité de MostaganemCo-EncadreurDr. A. RachidUniversité de Mostaganem
Année Universitaire :
2024/2025
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Project presentation
Analyse de la flexion électro-magnéto-élastiques d’une coque à double
Remerciement
En premier lieu, nous tenons à remercier notre Dieu, qui nous a donné la force et la volonté pour accomplir ce travail.
Nous adressons nos vifs remerciements à notre encadreur monsieur le professeur Djamel Ouinas, directeur du mémoire, pour son suivi, ses conseils judicieux et ses discussions qui nous ont beaucoup aidés au cours de nos recherches.
Nous tenons à remercier avec la plus grande gratitude Madame
F.Z. Zaoui, Docteur à l’université de Mostaganem, de l’honneur qu’elle nous fait en acceptant de présider le jury de ce mémoire.
Nous tenons également à présenter nos remerciements à Madame
A. Belhachemi, Docteur à l’Université de Mostaganem, d’avoir accepté d’être examinatrice et membres de ce jury.
Nous tenons à remercier sincèrement Monsieur A. Rachid, Docteur à l’Université de Mostaganem, pour l’honneur qu’il nous fait en Co-encadrant ce mémoire.
Nos derniers remerciements et ce ne sont pas les moindres, vont à tous ceux qui ont participe de prés ou de loin pour l’aboutissement de ce travail.
v
Dédicace
Je dédie ce modeste travail,
À ma mère, pour son soutien, ses encouragements et ses sacrifices, qu’elle trouve ici le témoignage de ma profonde reconnaissance.
À mon père pour l’intérêt qu’il a porté à mes études durant tout mon parcours.
À mes sœurs qui se sont montrés patients avec moi et qui m’ont aidé de mieux qu’ils peuvent « Batoul, Sarah et Ines ».
À mes nièces « Rahaf, Nada, Wissal et Meryem » qui ont toujours su dessiner le sourire sur mon visage
À mes frères « Hamza et mon jumeau Walid »
À mes beaux-frères « Amine et Oussama »
À ma grande famille
À tous ceux qui aiment me voir réussir
Je ne saurai terminer sans citer ma binôme et complice précieuse Djenette, merci d’avoir supporté mes crises et partagé mes éclats de rire… et survécu à mes moments de folie douce.
Je t’aime My Sheyla !! Kaoutar
vi
Dédicace
Je dédie ce mémoire :
Au meilleur des pères et à ma très chère maman qu’ils trouvent en moi la source de leur fierté qui ne cessent de me donner avec amour le nécessaire pour que je puisse arriver à ce que je suis aujourd’hui. Que dieu les protège et que la réussite soit toujours à ma portée pour que je puisse vous combler de bonheur.
À mes frères Abderrahman et Mohamed el Amine que dieu vous donne santé, bonheur et réussite
À ma sœur Aya, à qui je souhaite un avenir radieux plein de réussite, je t’aime !
À toute ma famille
À ma binôme et ma copine Kaoutar, celles avec qui j’ai passé des moments de stress et de folie,
Je t’aime Ma Farfelue !!
À tous ceux qui me sont chers, aux personnes qui m’ont encouragé de près ou de loin. Djenette
vii
Table des matières
• Introduction générale 1
• Introduction générale 1
Chapitre I
Généralités sur les matériaux
• Introduction 5 Loi de mélange en puissance ou propriété matérielle d’une structure P- FGM 5Loi de mélange sigmoïde ou propriété matérielle d’une structure S-FGM 6 Loi de mélange exponentielle ou propriété matérielle d’une structure E- FGM 7Phénomène piézoélectrique 8Mise en équations 9Éléments de contexte sur les capteurs magnétiques 11Hétéro-structures-magnéto-électriques 12Matériaux 13Propriétés 13Limites 14Limite en températureLimite en tensionLimite en pressionApplications 14
• Loi de mélange en puissance ou propriété matérielle d’une structure P- FGM 5
• Loi de mélange sigmoïde ou propriété matérielle d’une structure S-FGM 6
• Loi de mélange exponentielle ou propriété matérielle d’une structure E- FGM 7
• Phénomène piézoélectrique 8
• Mise en équations 9
• Éléments de contexte sur les capteurs magnétiques 11
• Hétéro-structures-magnéto-électriques 12
• Matériaux 13
• Propriétés 13
• Limites 14Limite en températureLimite en tensionLimite en pression
• Limite en température
• Limite en tension
• Limite en pression
• Applications 14
Chapitre II
Analyse de la flexion électro-magnéto-élastiques d’une coque à double courbure
• Introduction 16Description des coques à double courbure poreuses FG 18Formulations 18Résultats et discussions 28Validation du modèle mathématique 29 Evolution de la déflexion dans les structures sous l’effet la variation du potentiel électrique 𝝍𝟎 33Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte normale x
• Description des coques à double courbure poreuses FG 18
• Formulations 18
• Résultats et discussions 28
• Validation du modèle mathématique 29
• Evolution de la déflexion dans les structures sous l’effet la variation du potentiel électrique 𝝍𝟎 33
• Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte normale x
dans les
structures 34
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte x 35Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte x 36Effet du rapport R/a sur la variation de la contrainte x 37Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte normale y dans les
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte x 35
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte x 36
• Effet du rapport R/a sur la variation de la contrainte x 37
• Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte normale y dans les
structures 39
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte y 39Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte y 40Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte normale y 42Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte transverse z
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte y 39
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte y 40
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte normale y 42
• Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte transverse z
dans les
structures 43
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte z 44Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte z 45Effet du rapport géométrique sur la variation de la contrainte z 46Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte transverse xz dans les
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte z 44
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte z 45
• Effet du rapport géométrique sur la variation de la contrainte z 46
• Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte transverse xz dans les
structures 47
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte de cisaillement xz
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte de cisaillement xz
……………………………………………………………………………………………….49
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte de cisaillement xz
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte de cisaillement xz
…………………………………………………………………………………………..…….51
• Effet du rapport géométrique sur la variation de la contrainte normale xz 52Effet de la porosité sur la variation de la contrainte de cisaillement yz 53Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte de cisaillement yz
• Effet du rapport géométrique sur la variation de la contrainte normale xz 52
• Effet de la porosité sur la variation de la contrainte de cisaillement yz 53
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte de cisaillement yz
..…54
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte de cisaillement yz
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte de cisaillement yz
………………………………………………………………………………………..……….55
• Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte de cisaillement xy dans les
• Effet de la porosité sur l’évolution de la contrainte de cisaillement xy dans les
structures 58
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte de cisaillement xy
• Effet du potentiel électrique sur la variation de la contrainte de cisaillement xy
…………………………………………………………………….…………….…………….59
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte de cisaillement xy
• Effet du potentiel magnétique sur la variation de la contrainte de cisaillement xy
……………………………………………………………………………….…….………….61
• Effet du rapport géométrique sue sur la variation de la contrainte normale xy
• Effet du rapport géométrique sue sur la variation de la contrainte normale xy
…………………………………………………………………………….……….………….62
• Evolution de la déflexion dans les structures sous l’effet la variation du potentiel magnétique 0 63Conclusion générale 66
• Evolution de la déflexion dans les structures sous l’effet la variation du potentiel magnétique 0 63Conclusion générale 66
• Conclusion générale 66
Liste des tableaux
Chapitre I
Tableau I.1. Caractéristiques de certains matériaux utilisés pour piézoélectricité 13
Tableau I.2. Variation de longueur d’un barreau de PZT de 1 centimètre soumis à une tension de 100V 14
Chapitre II
Tableau.II.a. Comparaison des déflexions et les contraintes non dimensionnels d’une plaque carrée en matériau céramique (Al2O3) simplement supportée soumises à une charge sinusoïdale (a=b=10h) 29
Tableau.II.b. Comparaison des déflexions et les contraintes non dimensionnels d’une plaque carrée en matériau métallique (Al) simplement supportée soumises à une charge sinusoïdale (a=b=10h) 31
Liste des figures
Chapitre I
Figure.I.1. Variation de la fraction volumique dans une plaque P-FGM 5
Figure.I.2. Variation du module d’élasticité dans une plaque P-FGM 6
Figure.I.3. Variation de la fraction volumique dans une plaque S-FGM 6
Figure.I.4. Variation du module d’élasticité dans une plaque S-FGM 7
Figure.I.5. Variation de module de Young dans une plaque E-FGM 8
Figure.I.6. Effet piézoélectrique direct 8
Figure.I.7. Effet piézoélectrique indirect 8
Figure.I.8. Schéma de principe d’un transducteur piézoélectrique 9
Figure.I.9. Nomenclature des axes 10
Figure.I.10. Technologies des capteurs de champ magnétique : applications, détectabilité, gamme de mesure dynamique 12
Figure.I.11. Diagramme de Venn montrant la multifonctionnalité des matériaux utilisés dans les hétérostructures piézo-électro-magnéto-élastiques 13
Chapitre II
Figure.II.1. Schéma de la coque poreuse FG avec une seule couche PFRC 18
Figure.II.2. Déflexion centrale adimensionnelle de la coque non poreuse en fonction des différents paramètres a) Effet de 𝜓0 sur la déflexion, b) Effet de 𝜙0 avec 𝜓0 = 0, c) Effet de 𝜓0 avec 𝜙0 =
0 …………………………………………………………………………………………………….34
Figure.II.3. Déflexion centrale adimensionnelle de la coque poreuse en fonction des différents paramètres a) Effet de 𝜓0 sur la déflexion, b) Effet de 𝜙0 avec 𝜓0 = 0 , c) Effet de 𝜓0 avec 𝜙0 = 0 34
Figure.II.4. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑥 à travers l’épaisseur de la coque poreuse en FGM pour différentes valeurs du potentiel magnétique 𝜙0 = 0.02 35
Figure.II.5. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑥 à travers l’épaisseur de la coque poreuse en FGM pour différentes valeurs de potentiel magnétique 𝜙0 La porosité 𝜉 = 0.1 et p=4 36
Figure.II.6. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑥 à travers l’épaisseur de la coque poreuse en FGM pour différentes valeurs du potentiel électrique. La porosité 𝜉 = 0.1 et p=4 37
Figure.II.7. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑥 à travers l’épaisseur de la coque poreuse en FGM pour différentes valeurs du rapport géométrique R/a. La porosité 𝜉 = 0.1 et p=4 38
Figure.II.8. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑦 à travers l’épaisseur de la coque poreuse en FGM pour différentes valeurs de porosité 39
Figure.II.9. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑦 à travers l’épaisseur de la coque poreuse en FGM pour différentes valeurs de potentiel magnétique 𝜙0 La porosité 𝜉 = 0.1 et p=4 40
Figure.II.10. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑦 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour
différentes valeurs de potentiel électrique 𝜓0 41
Figure.II.11. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑦 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différents rapports géométriques R/a 42
Figure.II.12. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour
différentes valeurs de porosité (𝜉) 43
Figure.II.13. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑧 à travers l’épaisseur d’une coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel électrique 𝜓0 44
Figure.II.14. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel magnétique 𝜙0 46
Figure.II.15. Variation de la contrainte normale 𝜎̅𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différents rapports géométriques R/a 47
Figure.II.16. Variation de la contrainte de cisaillement transverse𝜎̅𝑥𝑧 à travers l’épaisseur d’une coque en FGM pour différentes valeurs de porosité (𝜉) 48
Figure.II.17. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑥𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel électrique 𝜓0 50
Figure.II.18. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑥𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel magnétique 𝜙0 51
Figure.II.19. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑥𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différents rapports géométriques R/a 53
Figure.II.20. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑦𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différentes valeurs de porosité (𝜉) 54
Figure.II.21. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑦𝑧 à travers l’épaisseur d’une
coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel électrique 𝜓0 55
Figure.II.22. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑦𝑧 à travers l’épaisseur de la coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel magnétique 𝜙0 56
Figure.II.23. Variation de la contrainte de cisaillement transverse 𝜎̅𝑦𝑧 à travers l’épaisseur de la
coque en FGM pour différents rapports géométriques R/a 57
Figure.II.24. Variation de la contrainte 𝜎̅𝑥𝑦 à travers l’épaisseur d’une coque en FGM pour différentes valeurs de porosité (𝜉) 59
Figure.II.25. Variation de la contrainte 𝜎̅𝑥𝑦 à travers l’épaisseur d’une coque en FGM pour différentes valeurs de potentiel électrique 𝜓0 60
Figure.II.26. Variation de la contrainte𝜎̅𝑥𝑦 à travers l’épaisseur d’une coque en FGM pour
différentes valeurs de potentiel magnétique 𝜙0 61
Figure.II.27. Variation de la contrainte 𝜎̅𝑥𝑦 à travers l’épaisseur d’une structure en FGM pour différents rapports R/a 63
Figure.II.28. Déflexion centrale adimensionnelle de la coque FGM (p=1) en fonction des différents
paramètres a) Effet de 𝜙0 sur la déflexion 𝜉 = 0, b) Effet de 𝜙0 sur la déflexion 𝜉 = 0.1 63
Figure.II.29. Déflexion centrale adimensionnelle de la coque FGM (p=4) en fonction des différents paramètres a) Effet de 𝜙0 sur la déflexion 𝜉 = 0 , b) Effet de 𝜙0 sur la déflexion 𝜉 = 0.1 64
Liste des symboles
xCoordonnées axiales dans le plan horizontal de la plaqueyCoordonnées axiales dans le plan horizontal de la plaquezCoordonnée axiale dans le plan transversale et verticale de la plaque(x, y, 0)Le plan médian de la plaquetDe tempsaLongueur de la plaquebLargeur de la plaquehÉpaisseur de la plaquekL’indice de puissance (l’indice matérielle), Paramètre du matériau (Exposantde la loi du la fraction volumique)E (z)Module de Young en fonction de « z »V (z)Fraction volumiqueVcLa fraction volumique du matériau céramique par la loi de puissance (z)Coefficient de Poisson en fonction de « z »u, v, wLes déplacements selon les directions x, y et z, respectivement.u0. v0. w0Les composantes du champ de déplacement sur le plan moyen de la plaqueDérivée partiellef (z)Fonction de gauchissement (fonction de cisaillement transverse), fonction deformef’(z)La première dérivée de la fonction de gauchissement par rapport à zf’’(z)La deuxième dérivée de la fonction de gauchissement par rapport à zx, y, zLes rotations autour des axes x, y et z,Une composante supplémentaire de déplacement transversal, prend encompte l’effet de contrainte normale (effet d’étirement),G(z)Module de cisaillement en fonction de « z » dans le plan transversalex, yContraintes axiales dans le plan horizontal de la plaquezLa contrainte normale transversalexzContrainte de cisaillementx, y, zDéformation dans la direction x, y et zxyDéformations dans le planxz, yzDéformations de distorsionChamp virtuelUTravail virtuel intérieur = L’énergie de déformationALa sectionVLe volumex y zChamp de déformation longitudinal virtuelxz, yzChamp de déformation transversal virtuelNx, Ny, Nz, NxyEfforts normaux = les résultantes de contraintes
Mbx, Mby, MbxyMoments de flexion = les résultantes de contraintesMsx, Msy, MsxyMoment supplémentaire du au cisaillement transverse = les résultantes decontraintesSsyz, SsxzEffort de cisaillement = les résultantes de contraintesVLe travail effectué par des charges externesTravail virtuel extérieurqForce extérieure (N) charge transversaleKL’énergie cinétiqueu0. v0. w0 et Champ virtuel de déplacementAijTermes de rigidité en membrane de la plaqueBijTermes de rigidité de couplage de la plaqueDijTermes de rigidité de flexion de la plaqueBsijTermes de rigidité de la plaque en cisaillementDsijTermes de rigidité de la plaque en cisaillementHsijTermes de rigidité de la plaque en cisaillementAsijTermes de rigidité de la plaque en cisaillementQmnUn coefficient donné pour deux charges typiquesT(x, y, z)Chargement thermique (K)Le vecteur des déplacements généralisésFLe vecteur des efforts généralisés Vecteur colonne Matrice
Liste des abréviations
FGMMatériaux Fonctionnellement GraduéeCPTThéorie Classique des PlaquesFSDTThéories de la Déformation de Cisaillement de Premier OrdreTSDTThéories de la Déformation de Cisaillement de troisième OrdreHSDTThéories de la Déformation de Cisaillement D’ordre ÉlevéSSDTThéories de la Déformation de Cisaillement Sinusoïdale2DDeux dimensionnellesQuasi-3DQuasi Trois dimensionnelles3DTrois dimensionnelles
ξ Porosité
0 Potentiel magnétique
0 Potentiel électrique
PFRC Piézo-ferroic reinforced ceramic-composite
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