Comment l’analyse comparative transforme notre compréhension des coques électromagnétiques ?

L’analyse comparative des coques électromagnétiques révèle des comportements inattendus sous flexion, mettant en lumière l’impact crucial de la porosité et des potentiels électriques et magnétiques. Ces découvertes transforment notre compréhension des structures à double courbure, avec des implications significatives pour l’ingénierie moderne.

• 1. Formulations

_{c m}  h 

m c m 2

L’analyse magnéto-électro-élastique d’une coque à double courbure à une couche magnéto-électro-élastique est étudiée dans ce chapitre, basée sur la théorie de déformation normale et de cisaillement d’ordre élevé. La théorie tridimensionnelle de la déformation normale et de cisaillement prenant en compte l’effet de l’étirement de l’épaisseur est utilisée pour décrire le champ de déplacement de la coque à double courbure. Le noyau est constitué de matériau FGM élastique et une couche piézo-magnétiques sont utilisées comme capteur et actionneur soumis à des charges magnétiques et électriques.

Les relations constitutives pour le noyau élastique basées sur l’élasticité tridimensionnelle sont [22] :

 ^e 

x

1. e e

11 12 13

Q

Q

Q

  _x 

 e   e e e

 

 y  Q12 Q22 Q23

 ^y 

 e 

Qe Qe Qe

 

 z    13 23 33

 ^z 

II.3

 e  0 0 0

 yz

 yz   

 e   0 0

0 0 Q^e

0  xz 

 ^xz   ⁵⁵  

 e   0 0

0 0 0

Qe  xy 

 xy  

66 

Qij = Qji sont les coefficients de rigidité, σi, ɛi sont les composantes de la contrainte et de la déformation normales, σij, γij sont les composantes de la contrainte et de la déformation de cisaillement. Les coefficients de rigidité sont calculés en termes du module de Young et du coefficient de Poisson pour les matériaux élastiques [23,25]. La déformation de cisaillement 3D est utilisée,

 z  0. alors Qij sont :

E(z)1   E(z) E(z)

Q  Q  Q   Q  Q  Q  , Q  Q  Q  .

11 22

³³ 1 2 1 

12 13

23 1 2 1 

44 55

⁶⁶ 21 

II.4

La figure schématique de la coque à double courbure à deux couches est montrée dans la Fig. II.1, où x, y sont les coordonnées le long de deux directions planaires et z est la coordonnée le long de la direction de l’épaisseur ; deux rayons de courbure sont définis par R₁, R₂ ; ils sont supposés constants. Les relations constitutives pour les couches piézo-magnétiques sont développées comme suit [95] :

Où E₁, E₂ et E₃ représentent les composantes du champ électrique, et H₁, H₂ et H₃ sont les composantes du champ magnétique. De plus, eᵢⱼ sont les coefficients piézoélectriques, ηᵢⱼ sont les coefficients diélectriques et dᵢⱼ sont les coefficients magnétoélectriques. Les relations de déplacement électrique sont développées comme suit [96] :

  _x 

 y 

Dx   0 0 0 0 e₁₅ 0  ₁₁ 0 0 Ex  d₁₁ 0 0 Hx 

D    0 0 0 e

0 0

z    0 

0 E

   0 d

0 H 

II.6

 y  

24  yz  

22  y  

22  y 

D  e31 e32 e33 0 0 0   0 0 ₃₃ E   0 0 d33 H 

 z 

 xz 

 z 

 z 

 



 xy 

Les relations d’induction magnétique sont exprimées comme suit [96] :

  _x 

 y 

Bx   0 0 0 0 q₁₅ 0  d₁₁ 0 0 Ex  ₁₁ 0 0 Hx 

B    0 0 0 q

0 0 z    0 d

0 E    0 

0 H 

II.7

 y  

24  yz  

22  y  

22  y 

B  q31 q32 q33 0 0 0   0 0 d33 E   0 0 ₃₃ H 

 z 

 xz 

 z 

 z 

 



 xy 

Où qᵢⱼ sont les coefficients piézo-magnétiques et μᵢⱼ sont les coefficients magnétiques.

Le champ de déplacement basé sur la théorie de la déformation normale et de cisaillement sinusoïdal à deux variables est présenté comme suit [22,27,38,42] :

ux, y, z,t   u x, y,t  z wb  f zws

⁰ x x

vx, y, z,t   v

x, y,t  z wb  f zws

II.8

⁰ y y

wx, y, z,t  wb x, y,t ws x, y,t g(z)z x, y,t

U, v, w sont les composantes des déplacements le long des directions x, y, z, u, v et 𝑤_𝑏 + 𝑤_𝑠 sont les déplacements de la surface médiane, 𝑤_𝑏et 𝑤_𝑠 sont les composantes de flexion et de cisaillement des déplacements transverses, et χ est la fonction d’étirement de l’épaisseur. Dans ce chapitre, la fonction de forme de déformation de cisaillement développée par Zaoui et al., [22], sera utilisée :

  h _{Hz/ } 2  z  ₂  z  h³ df

f z 

e  sin    h

cos  

et gz 

II.9

 4  h⁴





  h 

 h 



 4  h⁴ dz

Où h est l’épaisseur de la coque. Les relations contrainte-déplacement pour une coque à double courbure avec courbure constante sont données par :

 

 1  u w  

    

  z

  x

R1  

 v

1  w

v 

 1  

  

z 



 y  R 

   

 R1 

  1 z  

2 

 x  

1  v

w 

     R 

 w

  g(z)  .

z z z

II.16

Les relations constitutives peuvent être complétées par le calcul des composantes du champ électrique et magnétique. Les composantes du champ électrique et magnétique sont dérivées en utilisant le gradient des potentiels électriques et magnétiques. Les potentiels électrique et magnétique sont supposés comme une combinaison d’une variation linéaire le long de la direction de l’épaisseur, y compris les potentiels électriques et magnétiques appliqués, et une fonction bidimensionnelle inconnue pour satisfaire les conditions aux limites homogènes. Basé sur les explications précédentes,

les potentiels électrique et magnétique sont supposés comme suit :   2z   x, ycosz et

h 0 h

  2z 

h 0

 x, ycosz

h, respectivement. Sur la base des potentiels électriques et magnétiques supposés, les composantes des champs électrique et magnétique sont dérivées comme suit :

E  1  cosz

, E  1  cosz

, E 2  sin z .

II.17

^x  z  x

h y 

z  y

h z   h 0  h  h

1 

R

1 

R

 1   2 

H  1  cosz , H  1  cosz

, H 2

 sin z .

II.18

^x  z  x

h y 

z  y

h z   h  0  h  h

1 

R

1 

R

 1   2 

La substitution des composantes de contrainte, des champs électrique et magnétique dans les relations constitutives donne les relations constitutives totales comme suit :





e e  1

 u

²w

²w

w  w 





 

 x  Q11

 ⁰  z ^b  f (z) ^s  ^{b s}  g(z) ^z 

II.19

 z   x

x²

x² R R 

 1   



R

1 1 



  1  

 

 

Les composantes du déplacement électrique et de l’induction magnétique sont exprimées comme suit:







Le principe de HAMILTON :

U : l’énergie de déformation, V : Les travaux extérieurs,



U  W dt  0

La variation de l’énergie de déformation est définie comme suit : U  1 

2

U  A   ijij  DiEi  BiHi dzd A  0

ij ij

dV ,

II.36

 xx   yy   zz  yz yz  xz xz  xy xy  DxEx  DyEy  DzEz 

U  

 BxHx  ByH y  BzHz



dV





En considérant l’élément de volume comme dV  dxdydz donne une variation de l’énergie de déformation comme :

 0 N

b s

1 1

  ²w

w  w  

w 

 ^s S  ^{b s} N  ^z P   G  v N  ^s M 

 y ^{2 2}

R

2

2

2 R2

z 3 0 23 y 23

 II.37

U   







z S

y 23



 u0

N13 

ws M 

x 13

z S 

x 13

u0 N 

y 21

v0 N

x 12

 ²w

 ^b M

xy ¹²

dxdy









  ²w

 s S



 xy ¹²

 

x

D1 

 D

y ²

 D3

 

x

B1 

 B

y ²

 B3 



Avec les composants résultants sont définis comme :

N , M , S , P 

he / 2 p

1 1, z, f (z), g(z)dz 

he / 2  e

1 1, z, f (z), g(z)dz

1 1 1 1

h / 2 x 

z 

he / 2 x 

z 

1 2 3



 

 1



z 



1

z  

h z h h 

 R R  

  1   2   

G3   _z g(z)dz

Les travaux extérieurs sont définis comme suit :

.   h  h 

II.45

W    q1 2R

1 

2R

  1  2 

Le travail effectué par les forces externes dans le plan est calculé comme :

 ² w  w 

² w  w 

W  

N  N  N  b s  N  N

 N  b s R R w

 w dxdy

II.46

ext 2

   0 x

E 0 x



M 0 x

x²

0 y E 0 y

M 0 y

x²

 1 2 b s



Dans laquelle (N0x , N0y) sont respectivement les charges pré mécaniques, électriques et magnétiques.

N , N

  h / 2 2

1 (e

 , q

 ) dz

E 0 x

M 0 x

h / 2 h 

z 

31 0

31 0

II.47

1 

R

N , N



  h / 2 2

1 

1 (e

 , q  )

II.48

E 0 y

M 0 y

h / 2 h 

z 

32 0

32 0

1 

 R2 

L’intégration par parties de l’équation (15) et la réorganisation des variables conduisent à :

 N

 ² M

 ² S P N

N  ² M 

 1 u0  1 wb  1 ws  1 z  1 wb  ws  2 v0  2 wb 

 x

  ² S

x²

N

R

x² R R

P

1

1

y y ² 

M 

 ² w

 ² w

 w  ²   G   N

v  ²³ w 

U   



2

R

y 2 s b

s z 3 z

2

23 0 y s



dxdy

II.49

 S23   N u

 M13 

S13

N 21

N12 12 

 y ^z

2



  ² S

13 0

 M

D

x ws 

D

x z  y

B

u0 

B

x v0 

xy

wb 





 ¹² ws  ¹   ²   D3  ¹   ²   B3 

 xy

x y

x y 

Le principe du travail virtuel U  W

conduit aux équations de gouvernance finales comme suit :

u :  N1  N 21  N  0

x y ³

 : B1  B2  B  0

x y ³

Questions Fréquemment Posées

Quelle théorie est utilisée pour modéliser la déformation des coques à double courbure?

L’étude utilise une théorie expo-sinusoïdale à cinq variables pour modéliser la déformation par cisaillement transverse et les variations d’épaisseur.

Comment le principe des travaux virtuels est-il appliqué dans l’analyse des coques électromagnétiques?

Le principe des travaux virtuels est employé pour établir les équations gouvernantes de la flexion.

Quels paramètres influencent la réponse des coques à double courbure dans l’étude?

Une analyse paramétrique explore l’influence du paramètre de porosité et des potentiels électrique et magnétique sur la réponse des coques.