Analyse des essais de modules élastiques : cadre théorique essentiel

Les essais de modules élastiques révèlent des résultats surprenants sur la résistance des sols, transformant notre compréhension des fondations. Cette étude innovante met en lumière des méthodes sismiques qui pourraient révolutionner l’évaluation géotechnique, avec des implications cruciales pour l’ingénierie moderne.

CHAPITRE III : PRINCIPAUX ESSAIS DE MESURES DE MODULES

Les paramètres élastiques entrant dans le dimensionnement des fondations sont mesurés lors d’essais sur le terrain et en laboratoire. Les principaux essais de laboratoire qui servent à déterminer la valeur des modules élastiques des sols sont les suivants :

• L’essai de compression simple ;
• L’essai de cisaillement simple ;
• L’essai triaxial ;
• L’essai oedometrique.

Sur le terrain, on effectue l’essai pressiométrique. On peut aussi déterminer les modules élastiques, rapidement et à moindre coût par des essais sismiques. L’avantage des essais sur le terrain est de garder relativement intactes les propriétés et les conditions environnantes du sol étudié. Nous décrirons sommairement les divers types d’essais et leurs inconvénients.

Approche des modules par mesures statiques (Les essais de laboratoire)

Essai de Compression simple ou de Traction simple

La mesure considérée comme la plus simple du caractère élastique et isotrope d’un solide, consiste en la soumission d’une éprouvette parallélépipédique ou cylindrique de section S à un essai de compression simple ou un essai de traction simple (voir figure 6).

Figure 6 : Essai de compression simple

L’extension de l’élément est alors donnée par :

∆𝐿 = 𝜀𝑧 = 𝜎𝑧

→ ∆𝐿 = ^𝐹𝐿

→ 𝐸 = ^𝜎 avec ^𝐹 =  [III. 1]

𝐿 𝐸

𝐸𝑆

Ԑ 𝑆

Par convention Oz est négatif en cas de compression et positif dans le cas de la traction.

Les relations [III.1] permettent donc d’accéder au module d’élasticité E.

L’extension longitudinale s’accompagne de déformations latérales, qui s’expriment par,𝜀_𝑥 = 𝜀_𝑦 = − ^𝜎𝑧,est le coefficient de Poisson, la seconde caractéristique du matériau

𝐸

linéairement élastique. Ces trois relations conduisent à la variation de volume de l’éprouvette donnée par :

∆𝑉 = 𝜀

+ 𝜀

+ 𝜀

= 𝜎𝑧 (1 − 2) [III. 2]

𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝐸

Ceci montre qu’un dispositif permettant de mesurer la seule variation de volume ne permet pas d’accéder directement au module ; c’est donc la mesure simultanée de εz et εx qu’il y a lieu d’envisager.

Pour un coefficient de Poisson  = 0,5, valeur maximale du coefficient de Poisson, ∆V est nul. Le sol est déformable mais est incompressible.

La plupart du temps, la rupture de l’échantillon de sol emprunte une des trois formes suivantes : rupture fragile, rupture plastique et rupture fragile et plastique.

La rupture fragile se caractérise par un plan de cisaillement net. En effet, l’échantillon ne peut supporter la contrainte axiale que jusqu’à une valeur maximale P /A facilement observable. Après cette valeur, il « cède »et se sépare le long du plan de cisaillement.

L’essai de compression simple présente quelques difficultés opératoires.

D’abord, la préparation de l’échantillon exige de l’opérateur une certaine habileté. Les erreurs se traduisent le plus souvent par une diminution de la résistance du sol.

Ensuite, l’effort F appliqué aux extrémités de l’éprouvette par l’intermédiaire des plaques de contact rigides, empêche la libre extension radiale aux extrémités à cause du frottement. Cela entraîne une déformation dite en tonneau.

Enfin, lorsque la rupture est plastique, l’échantillon s’aplatit et prend la forme d’un tonneau, sans aucun plan de cisaillement apparent. Il devient alors très difficile de déterminer clairement la valeur maximale de la contrainte axiale car elle progresse jusqu’à un plateau pour devenir presque constante. (Source : revue française de géotechnique n°114)

Essai de compression triaxiale

L’essai de compression simple n’est pas facile à réaliser dans le cas d’un sol pour lequel les éprouvettes sont cylindriques. Le sol est souvent prélevé par carottage, par conséquent, il est souvent incapable de se maintenir stable ; c’est le cas des sols pulvérulents et des sols très peu cohésifs. Des essais triaxiaux ont étés développés, des essais où le maintien de l’éprouvette est assuré par une étreinte de confinement sur toutes les faces. Il est ensuite procédé à l’application en compression de l’effort F.

En restant dans le cadre strictement élastique sur un élément toujours parallélépipédique, le système de contraintes appliquées se réduit à σx, σy et σz. L’application du principe de superposition à un matériau élastique conduit aux trois extensions suivantes :

1

𝜀_𝑥 = 𝐸

1

𝜀_𝑦 = 𝐸

1

𝜀_𝑧 = 𝐸

[𝜎_𝑥 [𝜎_𝑦

[𝜎_𝑧

− (𝜎_𝑦

− (𝜎_𝑧

− (𝜎_𝑥

+ 𝜎_𝑧)]

+ 𝜎_𝑥)]

+ 𝜎_𝑦)]

(Source : revue française de géotechnique n°114)

Pour une éprouvette cylindrique ou σx= σy= σr (contrainte radiale), ce qui simplifie les expressions ci-dessus. La variation de volume est ^∆𝑉 = ^1−2 (2 × 𝜎_𝑟 + 𝜎_𝑧)[III. 3], linéaire avec

𝑉 𝐸

σz. La mesure de deux grandeurs (εz et εr par exemple) permet d’accéder aux deux modules élastiques E et .

Selon les conditions de drainage imposées à l’échantillon de sol et la vitesse de chargement choisie, l’essai triaxial peut prendre trois formes :

• L’essai triaxial non consolidé non drainé (UU) ;
• L’essai triaxial consolidé non drainé (CU) ;
• L’essai triaxial consolidé drainé (CD).

L’essai triaxial consolidé non drainé et l’essai triaxial consolidé drainé sont beaucoup plus compliqués à réaliser. En effet, ils comportent des aspects difficilement maîtrisables comme la saturation du sol et la variation des dimensions de l’échantillon pendant la consolidation. De plus, ces deux essais triaxiaux prennent beaucoup de temps, ce qui les rend coûteux. Par exemple, l’étape de l’essai triaxial consolidé drainé dure au moins une semaine.

Essai de type œdométrique

On peut imaginer un autre essai de type œdométrique à géométrie simple. Il consiste en l’enfermement d’un échantillon de matériau élastique d’épaisseur L dans une boîte totalement indéformable latéralement. La boîte de forme cylindrique ou cubique est simplement ouverte à sa partie supérieure où l’on applique un effort F par l’intermédiaire d’un piston rigide. Dans ce cas particulier, les déformations radiales sont évidemment empêchées et εy= εx (ou εr) = 0 ; on découvre facilement dans ces conditions l’expression suivante :

∆𝐿 = 𝜀 = 𝜎_𝑧 = (1 + )(1 − 2) [III. 4]

𝐿 ^𝑧 𝐸

1 − 

Cette expression ne permet d’accéder à la valeur de E que si l’on connaît. On constate que si = 0,5 (matériau incompressible), E est nul. Le module n’est pas mesurable. (Revue française de géotechnique n°114)

L’inconvénient de l’essai œdométrique est qu’il ne permet pas de déterminer le module E pour un coefficient de Poisson =0,5.

Essai de cisaillement simple (ou de distorsion)

Un autre type de déformation dite angulaire ou de distorsion peut affecter un matériau élastique. L’illustration la plus simple est la suivante :

Figure 7 : Distorsion lors d’un cisaillement simple

Si l’on applique à la surface S d’un parallélépipède rectangle une force F tangentielle, les différentes couches élémentaires infiniment petites glissent les unes sur les autres comme les feuilles de papier d’une pile. La hauteur h ne change pas, seules les arêtes normales, au plan d’application de la force, tournent d’un angle γ, petit. Cet angle et la force sont liés par la relation.

𝛾 = ¹ × ^𝐹 = ^𝑐 ,

𝐺 𝑆 𝐺

G est appelé module de cisaillement. On démontre que G est lié à E et  par la relation

𝐺 = 𝐸 2(1 + )

[III. 5]

Cette méthode est assez rudimentaire, car elle n’étudie qu’une partie vraiment minime de la surface du sol. Elle ne devrait jamais être utilisée seule.

Il est difficile, voire impossible, de contrôler les conditions de drainage, en particulier dans le cas des sols à grains fins. De plus, au moment de situer le plan de rupture à un endroit précis, comment peut-on s’assurer que cette direction correspond au plan le plus faible ou à la

direction critique du terrain ? On ne peut le certifier. Un autre inconvénient de cet essai réside dans la concentration des contraintes aux extrémités de la boite, soit à l’endroit même où sont transmises des contraintes externes très peu homogènes à l’intérieur de l’échantillon. En dernier lieu, il se produit une rotation des plans principaux et des contraintes entre le début de l’essai et la rupture. (Mécanique des sols, THEORIE ET PRATIQUE)

De ce qui précède, il apparait ainsi clairement que chacune des méthodes de laboratoire présente des limites que l’on peut résumer ainsi qu’il suit :

• Les principales difficultés proviennent de la tenue des parois du sondage et de la remontée du terrain foré. Dans la plupart des cas, il faut opérer sous la protection d’un tubage continu ou employer une boue de forage qui, formant un cake sur la paroi du puits, retient celle-ci. Aucun des procèdes de forage utilisé en terrain meuble ne peut vraiment être considéré comme non destructif. Le remaniement de l’échantillon est souvent considérable. Les essais en laboratoire ne sont valables que si pendant le transport, la composition du sol n’a pas été modifiée. Ce qui est totalement impossible pour les terrains forts meubles ;
• Les essais ne sont valables que sur les échantillons prélevés sur des épaisseurs parfois limitées à quelques centimètres ;
• Mesures ponctuelles ;
• La lenteur du processus ;
• La détermination de la valeur de E est faite avec une hypothèse du coefficient de Poisson, ce qui ne donne pas forcement des valeurs réelles de E puisque les valeurs du coefficient de Poisson varient de [0 ; 0,5].

D’où la nécessité de l’approche des modules par mesures in situ.

Approche des modules par mesures dynamiques

Les résultats des essais réalisés en laboratoire sur les échantillons provenant des forages sont abondamment utilisés dans la conception des fondations d’ouvrages. Cependant, il existe plusieurs méthodes de calcul qui s’appuient sur les résultats d’essais effectués directement sur le site du projet, garantissant ainsi que la conception tiendra compte des conditions naturelles de compacité, de saturation et de pression. Certains de ces essais, c’est le cas des essais de pressiométrique, procurent des renseignements impossibles à obtenir en laboratoire. Dans cette partie, nous étudierons l’essai pressiométrique, ainsi qu’un bref aperçu des méthodes sismiques.

Essai pressiométrique

L’essai pressiométrique est réalisé sur le terrain. Il permet une approche différente des problèmes géotechniques et la réalisation d’un nombre plus important d’essais que le laboratoire ne le permet.

L’essai consiste en une dilatation radiale d’une sonde cylindrique dans un trou de forage pour déterminer la relation entre la pression p appliquée sur le sol et le volume du déplacement de la paroi de la sonde.

Dans le but d’atténuer l’effet du remaniement provoqué par le forage, des pressiomètres auto foreurs ont été développées. Ils sont munis d’une tarière hélicoïdale intérieure qui perfore le sol à l’avant de la sonde, de telle sorte que les parois de la sonde sont toujours en contact avec le sol pendant l’enfoncement. L’essai le plus connu demeure cependant l’essai avec le pressiomètre Ménard, qui s’effectue à l’intérieur d’un trou de forage.

Les mesures obtenues lors de l’essai permettent de tracer la courbe pressiométrique figure 8.

Figure 8 : Courbe pressiométrique

(Source : Mécanique des sols, THEORIE ET PRATIQUE)

Comme la plupart des relations entre les contraintes et les déformations, ces courbes comportent un segment linéaire. À partir du moment où la sonde est bien appuyée à la paroi du sol, moment marqué p0, sur la courbe pressiométrique, le volume augmente linéairement avec la pression, alors que la déformation de fluage demeure faible et constante. Ce comportement, dit semi-élastique, dure jusqu’à ce que le volume de fluage augmente rapidement, au moment (pf) où s’amorce la rupture du sol. La courbe pressiométrique tend alors vers une valeur asymptotique appelée pression limite (pl).

La pente du segment linéaire sert à calculer le module pressiométrique E. En effet, Le module de cisaillement, module de glissement est défini à partir de la relation 𝐺 = ^{𝑉0(𝑃−𝑃0)}

𝑉−𝑉0

𝑃−𝑃0

découlant, en assimilant le sol à un matériau élastique, de l’expression exacte𝑉 = 𝑉₀ × 𝑒

sachant que ^𝑃−𝑃0 est souvent petit.

𝐺

𝐺 ,

Où P0 est une pression initiale isotrope au sein du forage, V0 est le volume de la section droite circulaire du forage.

On en déduit la valeur de E à partir de la formule [III.6], avec l’hypothèse faite d’un coefficient de Poisson de 0,33.

𝐺 = 𝐸

2 × (1 + )

→ 𝐸 = 2(1 + 𝜈) × 𝐺 [III. 6]

Inconvénients :

• • Une première remarque capitale s’impose : l’essai pressiométrique est un essai qui sollicite rapidement le sol car les paliers de chargement sont d’ailleurs appliqués une minute ; c’est un essai non drainé pour les sols fins et il est donc vain de vouloir approcher des phénomènes de consolidation, à long terme, avec cet essai ;
  • Mesures ponctuelles ;
  • La détermination de la valeur de G conduisant à la déduction de celle de la valeur de E est faite par une hypothèse du coefficient de Poisson à 0,33. Ce qui ne donne pas forcement des valeurs réelles de E puisque les valeurs du coefficient de Poisson varient de [0 ; 0,5] :
  • L’essai pressiométrique fournit des résultats peu sûrs dans le cas précis des argiles molles.

méthodes sismiques

Dans l’ouvrage ON S E I S M I C PROSPECTING, Adolf A. T. METZGER disait : “de nombreuses données de vitesse sont obtenues à partir de levés expérimentaux effectués en laboratoire. Je n’ai nullement l’intention de nier la valeur de ces méthodes de laboratoire et de leurs résultats, mais plus de 30 ans de prospection géophysique m’ont convaincu que les données les plus fiables sont obtenues par des levés expérimentaux sur le terrain. »

L’exploration sismique est appliquée, ces dernières années, dans le domaine du génie civil. La plupart des problèmes de fondation, tels que la détermination de la profondeur du substratum rocheux, l’étude du sous-sol des tunnels et des barrages, peuvent être résolus par des méthodes sismiques. Une autre application de la sismique dans le génie civil est la détermination, in situ, des modules élastiques du sous-sol.

Avantages de la méthode sismique

Par rapport aux autres essais, la méthode sismique présente des avantages certains :

• Les différentes vitesses de propagation des ondes sismiques intervenant dans les calculs de modules sont mesurées sur place ;
• Elle tient compte des conditions naturelles d’humidité, de pression, de météorologie… Elle prend en compte les différents états du sol ;
• A l’instar des autres méthodes in situ, tel que l’essai pressiométrique, celle à ondes sismiques est peu coûteuse, non invasive et respectueuse des normes

environnementales, car elle ne nécessite pas de machines lourdes et ne laisse pas de traces à la surface du site d’essai. De même, elle n’entraine aucun remaniement du terrain ;

• Son exécution est rapide, aussi, peut-on la multiplier pour permettre une meilleure reconnaissance du sol ;
• Il permet d’obtenir rapidement une évaluation générale des modules du couches du sous-sol ;
• Elle donne des résultats globaux par rapport aux essais de laboratoire qui donnent des résultats discontinus ;
• Elle est parfois le seul à réaliser lorsqu’on ne peut pas extraire des échantillons intacts ;
• Les méthodes sismiques sont faites à plus grande échelle ; ils peuvent déterminer une meilleure façon les modules élastiques du sous-sol et permettent d’évaluer des aspects comme la stratification des couches, l’hétérogénéité…
• Un autre avantage est lié au fait que la sismique fournit une coupe stratigraphique avec l’épaisseur des différentes couches du sous-sol sous l’ouvrage. Ce qui permet de déterminer, sur de grandes surfaces et de manière continue, les modules de toute la zone d’étude ;
• La seule méthode sismique permet de déterminer simultanément le module de Young, le coefficient du Poisson, le module de Coulomb et le module d’incompressibilité de chaque couche du sous-sol ;
• La précision des résultats obtenus est tout à fait suffisante pour des études géologiques des zones propices (sélectionnées) de construction¹ ;
• Dans les couches de plus de 20 m de profondeur, les résultats sismiques sont obtenus 25 à 30 fois plus rapidement que par forage au diamant² ;
• La moyenne de la mesure de la réfraction sismique est de 500 mètres de ligne par jour. Cela donne une image claire de l’utilité de la méthode³ ;
• Les méthodes de mesure des ondes de surface fournissent des résultats fiables et constants (Park, Miller &Xia, 1997 ; Xia et al, 2002).

Principe de base de la méthode sismique

Le principe de base de la théorie de l’élasticité infère que dans un solide homogène et isotrope, les déformations sont proportionnelles aux déplacements lorsque ceux-ci tendent vers zéro. En sismique, les contraintes et les déformations sont très faibles et les modules que l’on détermine, par cette méthode, sont assimilables aux modules élastiques.

Les contraintes de compression (respectivement contraintes de cisaillement) se transmettent à une vitesse dite vitesse des ondes de compression ou vitesse longitudinale Vp (respectivement vitesse des ondes de cisaillement ou vitesse transversale Vs). La connaissance de la vitesse de déplacement de ces deux types d’ondes permet de calculer les modules dynamiques des sols par les formules suivantes :

¹ P. TAANILA, pages 19 et 25 de ON SEISMIC PROPECTING

²P. TAANILA, pages 19 et 25 de ON SEISMIC PROPECTING

³P. TAANILA, pages 19 et 25 de ON SEISMIC PROPECTING

2 2

( 3𝑉 −4𝑉 )

Module d’allongement : 𝐸_𝑑 = 𝑑. 𝑉². ^{𝑃 𝑆}

[III. 7]

𝑆 (𝑉2−𝑉2)

𝑃 𝑆

𝑉2−2𝑉2

𝑉2

Coefficient de Poisson :_𝑑 =

𝑃 𝑆

2

= 1 − ^𝑃 ₂

[III. 8]

2(𝑉𝑃 −𝑉2)

2(𝑉²−𝑉 )

𝑆 𝑃 𝑆

Module de Coulomb :𝜇_𝑑 = 𝑑. 𝑉² [III. 9]

𝑠

Module d’Incompressibilité : 𝑘_𝑑 = 𝑑 (𝑉² − ⁴ 𝑉²) [III. 10]

Ou d est la masse volumique.

𝑃 3 𝑆

L’indice d indique que les constantes élastiques, utilisées dans les relations ci-dessus, sont des constantes dynamiques obtenues par les méthodes de prospection sismique. Elles diffèrent des constants élastiques mesurés en laboratoire. (Source : Djeddi Mabrouk. Sismique Réflexion et Réfraction : Les Principes de Base.)

La vitesse des ondes de compression Vp (ou vitesse longitudinale) est obtenue par la méthode dite sismique réfraction. Quant à la vitesse des ondes de cisaillement Vs (ou vitesse transversale), elle est mesurée par la méthode dite MASW (en français analyse multicanaux des ondes de surface). Ces deux méthodes sismiques seront largement abordées dans les chapitres suivants (IV et V).

Questions Fréquemment Posées

Quels sont les principaux essais pour mesurer les modules élastiques des sols ?

Les principaux essais de laboratoire pour déterminer les modules élastiques des sols sont l’essai de compression simple, l’essai de cisaillement simple, l’essai triaxial et l’essai oedométrique.

Pourquoi utiliser la méthode sismique pour déterminer les modules élastiques ?

La méthode sismique permet de déterminer les modules élastiques rapidement et à moindre coût, tout en conservant relativement intactes les propriétés et les conditions environnantes du sol étudié.

Quels sont les inconvénients des essais de compression simple ?

Les inconvénients des essais de compression simple incluent la difficulté de préparation de l’échantillon, le frottement qui empêche la libre extension radiale, et la difficulté à déterminer la valeur maximale de la contrainte axiale en cas de rupture plastique.