L’analyse de cas en géotechnique révèle des résultats surprenants sur les modules élastiques du sol, mettant en lumière l’importance cruciale de la méthode sismique. Cette étude démontre comment des vitesses de propagation des ondes sismiques variées influencent l’évaluation des propriétés géotechniques, avec des implications significatives pour l’ingénierie.
Principes fondamentaux
Considérons que les déformations élastiques de compression (onde longitudinale) se propagent dans des terrains avec des vitesses maximales. Ces vitesses caractérisent les différents milieux supposés homogènes. Lorsque les vitesses des différents terrains augmentent en fonction de la profondeur, leur investigation par sismique réfraction est alors possible et ce, suivi d’un minimum d’erreurs.
L’onde sismique produite par une source d’excitation parcourt le sol à une vitesse qui dépend des propriétés élastiques de la roche entourant la source. S’il n’y a pas de discontinuité élastique, les ondes se déplaceront symétriquement dans toutes les directions. Les fronts d’onde prennent la forme de sphères, avec la source au centre.
Le premier front d’onde atteindra une série de géophones à la surface à différents moments, selon la distance de ces instruments par rapport à la source. La vitesse peut être calculée à partir de la relation V = x / t, où x est la distance et t le temps. Dans le cas d’un milieu continu, une vitesse uniforme sera enregistrée sur tous les géophones.
Si l’on constate une variation de la vitesse, la seule explication possible est qu’une ou plusieurs discontinuités élastiques sont cachées dans le sous-sol.
Trajet du front d’onde (cas de deux terrains)
Le cas le plus simple rencontré en sismique réfraction est celui de deux terrains isotropes séparés par un plan parallèle à la surface du sol. L’interface entre ces deux milieux se situe à une profondeur e1. Dans le milieu supérieur, l’onde sismique se propage avec une vitesse V1 et avec une vitesse V2 dans un milieu inferieur telle que V1<V2.Par souci de simplicité, alors supposons également que l’épaisseur du deuxième milieu est infinie.
On observe sur la figure 12 que le premier front d’onde à toucher l’interface est celui qui a le rayon e1. Il atteint la frontière verticalement sous la source. Il existe un point d’incidence critique correspondant à un angle critique ic tel que sin ic=V1/V2.Tous les fronts d’ondes, lorsqu’ils atteindront l’interface à ce point se diviseront en deux parties, l’une étant réfléchie de l’interface vers la surface et l’autre étant réfractée dans le second milieu. L’autre partie réfractée se déplacera désormais le long de la frontière à une vitesse V2. A partir de ces ondes réfractées, de nouvelles ondes remonteront à la surface et pourront y être enregistrées par les géophones implantés en surface.
Les ondes réfractées, ou plutôt les fronts d’onde, ont leur centre à l’interface verticalement en dessous de la source. Sur la figureIV.4, le point C représente le lieu du début de la réfraction. Au passage du front d’onde, du milieu 1 au milieu 2, on note une distorsion de l’enveloppe dans le nouveau milieu.
LL’ représente l’enveloppe du front d’onde pour le second milieu. Du point C, (figure 12) une partie de l’énergie est réfractée vers la surface. Ceci se traduit, pour le premier milieu, par le fait que l’enveloppe des ondes réfractées (EL) est en avance sur le trajet des ondes directes. De même, les enveloppes MF et NP (figure 12) des ondes réfractées sont elles aussi plus en avance que les trajets directs.
Les points C, E, F, P et S sont les lieux où les ondes directes et réfractées arrivent en même temps. Les géophones (G), placés en surface, captent le temps pris par l’onde longitudinale pour parcourir les différents trajets AG1…AGn. L’instant de l’ébranlement T = 0, l’arrivée des fronts d’onde aux géophones TG1…TGn et les distances AG1…AGn, nous permettent de tracer les dromochroniques (graphique temps-distances) en portant en abscisse les distances et en ordonnée les temps de parcours correspondants (figure 13).
Les pentes des deux segments de la dromochronique fournissent les valeurs des vitesses V1 et V2.
Figure 12 : Position des fronts d’ondes (onde longitudinale), cas de deux terrains séparés par un plan horizontal.
Figure 13 : Dromochroniques dérivées du schéma de la figure 12
Le graphique (figure 13), dérivé du schéma des fronts d’onde de la figure 12, nous fournit les vitesses des deux milieux. Ce sont des vitesses réelles, car les terrains sont parallèles et isotropes.
- Temps d’intersection à l’origine
Considérons le point S figure 14, qui représente le lieu où les ondes directes et réfractées arrivent en même temps à la surface.
Figure 14 : Représentation schématique des rayons sismiques, pour le cas de la
figure 13.
Pour l’onde réfractée on a :
𝑇 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝑆
[ 𝐼𝑉. 5]
𝑉1 𝑉2 𝑉1
Ou 𝑇 = 2𝐴𝐶 + 𝐶𝐷
[ 𝐼𝑉. 6]
𝑉1
Avec𝐴𝐶 = 𝑒1
𝑐𝑜𝑠𝑖
𝑉2
𝑒𝑡 𝐶𝐷 = 𝐴𝑆 − 2𝑒1𝑡𝑎𝑛𝑖(AS = X) l’équation [IV.6] devient :
En remplaçant AS par X dans l’équation[ 𝐼𝑉. 6], nous retrouvons que :
𝑇 = 2𝑒1
𝑉1𝑐𝑜𝑠𝑖
+ 𝑋 − 2𝑒1𝑡𝑎𝑛𝑖
𝑉2
[ 𝐼𝑉. 7]
𝑇 = 2𝑒1
𝑉1𝑐𝑜𝑠𝑖
+ 𝑋
𝑉2
+ −2𝑒1𝑠𝑖𝑛𝑖
𝑉2𝑐𝑜𝑠𝑖
[ 𝐼𝑉. 8]
Avec sin i = V1 /V2et cos2i+sin2i=1 ;
𝑇 = 𝑋
𝑉2
+ 2𝑒1 × cos 𝑖 [ 𝐼𝑉. 9]
𝑉1
Cette dernière expression est l’équation d’une droite de pente 1/V2. Elle coupe l’axe des temps au point I. I est appelé ordonnée à l’origine ou temps d’intersection à l’origine et a pour expression :
𝐼 = 2𝑒1 × 𝑐𝑜𝑠 𝑖 [ 𝐼𝑉. 10]
𝑉1
Sur le graphique « temps-distance », les droites de pentes 1/V1 et 1/V2 se croisent en un point appelé point de brisure. Pour les réceptions à gauche de ce point de brisure, le temps du trajet direct est inférieur au temps du trajet réfracté et inversement pour les réceptions situées à droite du point de brisure.
Calcul d’épaisseur e1
Le temps d’intersection à l’origine I permet alors de calculer l’épaisseur e1 de la couche.
𝑒1
= 𝐼𝑉1 2𝑐𝑜𝑠𝑖
[ 𝐼𝑉. 11]
On peut calculer également l’épaisseur de la couche à partir de l’abscisse du point de brisure Xc ou distance critique.
𝑋𝑐1
𝑉2 − 𝑉1
𝑒1 =
2 √𝑉2 + 𝑉1 [ 𝐼𝑉. 12]
Cas de plusieurs couches planes horizontales et Cas d’un seul marqueur plan incliné
Cas de plusieurs couches planes horizontales
Figure 15 : Cas de plusieurs couches planes horizontales
En exprimant de proche en proche, comme pour le cas de deux couches horizontales, les temps de trajets réfractés totalement à la surface des 2e ,3e ,4e, ne couche, on obtient autant d’équations de droites dont les paramètres sont les suivants :
- Les inverses des pentes des diverses droites sont égaux aux vitesses des réfracteurs correspondants ;
- Les ordonnées à l’origine ou temps d’intersection sont fonction des vitesses et des épaisseurs des diverses couches.
Si on admet les notations suivantes : sinipn = Vp/Vn, les expressions des temps d’intersection sont les suivantes :
Connaissant les vitesses V1, V2, …Vn-1, Vn, les angles i sont, par conséquent, connus par leurs sinus et on calcule les épaisseurs e1, e2, e3, ep, … de proche en proche.
𝐼1
= 2 𝑒1𝑐𝑜𝑠𝑖1,2
𝑉1
[ 𝐼𝑉. 13]
𝐼 = 2 𝑒1𝑐𝑜𝑠𝑖1,3 + 2 𝑒2𝑐𝑜𝑠𝑖2,3
[ 𝐼𝑉. 14]
2 𝑉1
𝑉2
𝐼 = 2 𝑒1𝑐𝑜𝑠𝑖1,4 + 2 𝑒2𝑐𝑜𝑠𝑖2,4 + 2 𝑒3𝑐𝑜𝑠𝑖3,4
[ 𝐼𝑉. 15]
3 𝑉1
𝑉2
𝑉3
𝐼 = 2 𝑒1𝑐𝑜𝑠𝑖1,𝑛 + 2 𝑒2𝑐𝑜𝑠𝑖2,𝑛 + ⋯ + 2 𝑒𝑝𝑐𝑜𝑠𝑖𝑝,𝑛 + ⋯ + 2 𝑒𝑛−1𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛−1,𝑛
𝑛−1
𝑛−1 𝑒
𝑉1
𝑐𝑜𝑠𝑖
𝑉2
𝑉𝑝
𝑉𝑛−1
= 2 ∑
𝑝=1
𝑝
𝑉𝑝
𝑝,𝑛
[ 𝐼𝑉. 16]
La généralisation de la notion de délai sismique conduit à :
𝑛−1 𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑖
𝐷𝑛−1 = ∑
𝑝=1
𝑝
𝑉𝑝
𝑝,𝑛
[ 𝐼𝑉. 17]
Les épaisseurs de terrain e1, e2, e3 pourront aussi être obtenues à l’aide des formules aux tangentes suivantes :
De façon générale, ipn=angle qui a pour sinus la valeur Vp/Vn.
𝑒 = 𝐼1 𝑉 𝑡𝑎𝑛𝑖
1 2 2 12
𝑒 = 𝐼2 𝑉 𝑡𝑎𝑛𝑖
− 𝑒
𝑡𝑎𝑛𝑖23
2 2 3
23 1 𝑡𝑎𝑛𝑖13
𝑒 = 𝐼3 𝑉 𝑡𝑎𝑛𝑖
− 𝑒
𝑡𝑎𝑛𝑖34 −𝑒
𝑡𝑎𝑛𝑖23
3 2 4
34 2 𝑡𝑎𝑛𝑖24
1 𝑡𝑎𝑛𝑖13
Cas d’un seul marqueur plan incliné
Figure 16 : Cas d’un seul marqueur plan incliné (tirée du Dictionnaire de Géophysique Appliquée – P. Chapel – 1980)
V2am représente la vitesse apparente pour les trajets se dirigeant vers l’amont du marqueur, et V2av la vitesse apparente pour les trajets se dirigeant vers l’aval. Ces vitesses apparentes sont données par les relations :
sin(𝜆 + 𝛼) = 𝑉1
𝑉2𝑎𝑣
sin(𝜆 − 𝛼) = 𝑉1 donc V2am>V2av
𝑉2𝑎𝑚
Il vient : 1
= 1 ( 1
+ 1 ) 1
𝑉2
2 𝑉2𝑎𝑚
𝑉2𝑎𝑣
𝑐𝑜𝑠𝛼
Les angles de pendage étant généralement faibles, on peut négliger le facteur 1/cosα (très peu différent de 1), la formule approchée s’écrit alors :
𝑉 = 2 ( 𝑉2𝑎𝑚𝑉2𝑎𝑣 ), moyenne harmonique des deux vitesses apparentes.
2
𝑉2𝑎𝑚+𝑉2𝑎𝑣
Et 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑉2 ( 1 + 1 )
2 𝑉2𝑎𝑚 𝑉2𝑎𝑣
Les distances perpendiculaires au marqueur : e et e’ s’obtiennent à partir des interceptions I1 et I’1:
𝑒 =
𝐼1
2𝑐𝑜𝑠𝜆
𝐼𝘍
et
𝑉1 𝑒′ = 1 𝑉1
2𝑐𝑜𝑠𝜆
Il est important de signaler qu’il suffit d’un très faible pendage pour faire évoluer très rapidement les valeurs des vitesses apparentes en aval et amont.
Causes d’erreurs
Les résultats obtenus par la méthode de réfraction sismique ne sont qu’approximatifs. Il y a des cas où il est impossible, même en théorie, d’atteindre un résultat raisonnablement correct. Parmi ceux-ci, nous pouvons décrire les trois cas suivants :
1ercas : Les vitesses de couche doivent remplir la condition V1 <V2 <V3 etc. Cette séquence est généralement présente. Les conditions hivernales font exception. Dans le sol
« arable gelé », la vitesse est d’environ 3 000 m / sec. Dans la couche sous-jacente, la vitesse est toujours inférieure à 2 500 m/sec. La séquence de vitesses ci-dessus n’est donc pas réalisée et il est impossible, ou du moins improbable que la méthode de réfraction normale donne des résultats précis.
2e cas : Une couche de vitesse complète « zone d’ombre » est parfois perdue. C’est le cas lorsque la première couche de terre végétale est profonde et a une faible vitesse (par exemple 20 mètres, 500 m/sec), et en même temps, la deuxième couche de sol est beaucoup plus mince et que la vitesse est élevée (par exemple 7 mètres, 2000 m/sec). Dans un tel cas, il peut être démontré mathématiquement que la deuxième couche ne peut pas être enregistrée du tout. Il existe certes certaines méthodes par lesquelles l’existence de cette couche peut être démontrée, telles que placer l’explosif en profondeur et réduire les intervalles entre les sismomètres, mais elles ne sont pas toujours suffisantes.
3e cas : De même, il peut être prouvé mathématiquement qu’il est impossible de déterminer avec précision le fond d’un ravin raide dans le lit rocheux. L’onde de choc peut se déplacer du point de tir au sismomètre à travers les parois du substratum rocheux sur les côtés du ravin.
Heureusement, les causes d’erreur mentionnées ci-dessus sont très rares. Elles ne peuvent donc pas être considérées comme invalidant la méthode de réfraction sismique.
Questions Fréquemment Posées
Comment les méthodes sismiques révèlent-elles les propriétés du sol?
Les méthodes sismiques révèlent les propriétés du sol en mesurant les vitesses de propagation des ondes sismiques, ce qui permet de calculer les modules géotechniques des différentes couches du sous-sol.
Quels paramètres géotechniques peuvent être déterminés par la méthode sismique?
La méthode sismique permet de déterminer des paramètres géotechniques tels que le module de Young et d’autres propriétés élastiques du sol.
Qu’est-ce que l’analyse de cas en géotechnique?
L’analyse de cas en géotechnique consiste à étudier des situations spécifiques, comme la déformation du sol, pour appliquer des méthodes comme la sismique afin d’évaluer les propriétés du sol.