L’analyse de la variance Taguchi est appliquée pour optimiser la lixiviation du minerai oxydé cupro cobaltifère de la mine de Kamfundwa. Cette étude vise à maximiser la solubilisation du cuivre et du cobalt tout en réduisant la solubilisation du fer et la consommation d’acide.
II.3. Analyse de la variance (Guy nkulu, 2012)
Lors d’une expérimentation où plusieurs facteurs, à plusieurs niveaux ou modalités, interviennent, il est nécessaire de tester la signification de différences entre des moyennes calculées pour différentes catégories.
L’analyse de la variance (ANOVA), développée par R.A. Fisher, teste l’hypothèse nulle (H0) c’est-à-dire l’hypothèse selon laquelle toutes les moyennes sont égales (hypothèse d’homoscédasticité c’est-à-dire égalité de variances). Au cœur de cette méthode est la décomposition de la variabilité totale selon les différentes sources présentes dans les données. La variabilité totale est partitionnée en deux sources : la variabilité intra due à l’erreur expérimentale et la variabilité inter due aux écarts de moyennes entre les différentes modalités d’un facteur (Bernard, 2005).
L’analyse de la variance suppose l’égalité des variances et la normalité des populations d’origine. Elle est réalisée sous les conditions suivantes :
- Homogénéité des variances (chaque population présente la même variance) ;
- Normalité : les scores de rétention dans chaque groupe sont normalement distribués autour de la moyenne ;
- Indépendance des observations.
L’analyse de la variance passe par le calcul de différentes variabilités (Hvelec et al., 2004 et Mohd et al., 2009). On fait alors recours aux sommes des carrés (SC ou SS pour Sum of Squares en anglais) et aux degrés de liberté (degree of freedom, df) pour calculer les carrés moyens (CM ou mean square MS).
II.3.1. Calcul de somme des carrés (sum of square)
C’est la dispersion entre les niveaux du facteur, c’est-à-dire la somme des carrés des écarts de la moyenne d’un facteur à la moyenne générale.
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Ou est la somme de carrés du facteur Z, N est le nombre total d’essais effectués ; le nombre de traitement au niveau i, la réponse correspondante.
(59)
Avec est la somme des carrés du terme de l’erreur expérimental, la somme des carrés totale, somme des carrés des écarts à la moyenne générale de toutes les observations indépendamment du traitement (composante de la variance totale). Elle se calcule comme
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II.3.2. Calcul des degrés de libertés (degree of freedom)
Ce calcul permet de savoir les possibilités dont on dispose pour faire varier un élément.
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Avec N le nombre total d’essais, p le nombre total des groupes et n le nombre de niveau du facteur Z.
II.3.3. Calcul de carrés moyen (variance)
La variance est la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne (d’après la définition classique)
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Avec la somme des carrées du résidu et le degré de liberté du résidu, la somme des carrés de facteurs et le degré de liberté de facteurs.
Une fois que la variabilité totale est décomposée (inter + intra), on compare ces 2 composantes. Cette comparaison consiste à calculer la statistique F.
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Ou et sont respectivement les carrées moyens de facteur et du résidu.
- Si H0 est vraie, il n’y a pas d’effet traitement. Dans ce cas le numérateur et le dénominateur du rapport F mesurent la même variance. F aura une valeur proche de 1.
- Si H0 est fausse, le rapport F sera supérieur à 1. Plus il est grand, plus l’effet du traitement est important.
On montre que sous H0, ces carrés moyens sont des estimations de la variance d’un facteur z. Le rapport F compare ces 2 estimations ; s’il n’y a pas d’effet du traitement ; ces deux estimations seront égales ; dans le cas contraire F sera supérieur à 1 ; le test statistique précisera alors en fonction du niveau de signification jusqu’où un dépassement de 1 est acceptable.
On montre également que, sous H0, la statistique F se distribue suivant une loi de Fisher-Snedcor Fn-1, N-p. Ce F est appelé F critique et il se lit dans les tables dites tables de Fisher-Snedcor. Si F calculé est supérieur à F critique alors H0 est vrai sinon, c’est l’hypothèse H1 qui est vérifiée, c’est-à-dire au moins une des moyennes est différentes des autres.
Pz, exprimé en pourcentage (%), est également un indice important dans l’analyse de la variance. Il s’agit du pourcentage de variation de la variable (dont on regarde la moyenne) expliqué par le facteur (qui définit les différents groupes). Il se calcule par la formule :
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Avec la contribution pour le résidu.
II.4 Conclusion
Les plans d’expériences offrent un moyen simple et efficace de réduire le coût et d’augmenter la robustesse des études expérimentales effectuées lors de la conception ou de la validation d’un produit industriel.
Comparativement à la méthode traditionnelle, elle présente une précision nettement supérieure par le fait que la réalisation de ces essais sont effectuées aux extrémités du domaine d’étude couvrent ainsi plus de champ de réponse.
Ne permettant pas une explication physico-chimique. La méthodologie de taguchi associé a l’analyse de la variance, nous permettent d’obtenir des informations complètes sur la paramétrisation d’un processus en précisant leurs effets et leurs niveaux de contribution.