Modèle théorique du comportement du ménage agricole
II- Présentation du modèle théorique
Nous reprenons ici le modèle de ménage agricole unitaire182 exposé par C. Benjamin [1996]. Nous nous proposons d’étudier les propriétés d’un tel modèle lorsque la saisonnalité de l’activité agricole est prise en compte : nous considérons un cycle de production constitué de deux périodes ou saisons : une période de plantation (notée 1) et une période de récolte (notée 2) [Bardhan, 1983 ; Innes, 1993 ; Saha, 1994].
La quantité de travail nécessaire diffère d’une saison à l’autre et la production a lieu en période de récolte.
Il existe des marchés pour chaque bien (biens de consommation, intrants, biens agricoles, travail) et un marché du crédit. Le ménage agricole est considéré comme preneur de prix sur l’ensemble des marchés (travail et biens).
Pour que les décisions de travail et d’emploi puissent être flexibles sur l’ensemble du cycle de production183, les travailleurs salariés peuvent être employés soit sur l’ensemble des deux périodes (ils sont alors considérés comme des travailleurs permanents) soit sur une seule des deux périodes (auquel cas ils sont considérés comme des saisonniers).
Nous dissocions donc la saisonnalité de l’activité et celle du contrat, la durée du contrat déterminant la nature de l’emploi (permanent ou saisonnier).
Les choix d’offre de travail de la famille peuvent être différents d’une saison à l’autre. La famille peut en effet être employée tout au long de l’année ou uniquement pour une saison donnée.
Nous considérons un ménage agricole dont l’utilité U est une fonction184 u de la consommation du ménage C et de son loisir l: U u(Ci , li )
où i est la période (ou saison) du cycle de production considérée 
Les prix de tous les biens sont normalisés à 1.
En période de plantation (1), la production est égale à 0. Une certaine quantité de travail L1 est cependant nécessaire à cette période pour produire Q à la période de récolte suivante (2)185.
Q q(L1 ) (3-2)
Nous faisons l’hypothèse que la quantité de travail nécessaire en période de récolte L2 est proportionnelle à la quantité produite Q, elle-même déterminée par la décision de travail en période 1 :
La technologie de production est donc représentée sous une forme simple. Elle lie de façon linéaire et certaine la quantité de travail en période de récolte (2) à la quantité de travail en période de plantation (1). Nous considérons qu’il n’existe qu’un seul facteur de production, le travail186 et qu’il n’y pas d’aléa sur la production187.
Étant donné que le revenu agricole est nul en période de plantation (Q=0), l’exploitant emprunte un montant S pour soutenir la consommation du ménage à cette période C1 (188).
En période de récolte, l’exploitant rembourse son emprunt avec un taux d’intérêt 
Nous considérons que le travail sur l’exploitation est composé du travail familial Fi, du travail salarié permanent 
Nous faisons l’hypothèse que le travail familial, le travail salarié permanent et le travail salarié saisonnier sont des substituts parfaits en terme de productivité [Benjamin, 1996].
Nous avons donc : 
La famille peut travailler sur l’exploitation ou hors de l’exploitation. La quantité de travail offerte hors de l’exploitation 
Nous considérons que la désutilité du travail est la même pour le travail sur l’exploitation et pour le travail hors de l’exploitation : les deux types de travail familial sont donc de parfaits substituts [Benjamin, 1996].
Le salaire unitaire du travail sur l’exploitation (permanent comme saisonnier) est w . Les travailleurs sur l’exploitation (famille et salariés) sont considérés également productifs.
Contrairement à l’approche originelle des modèles de ménages agricoles et dans la suite de C. Benjamin [1996] nous considérons que wo peut être différent de w . En ce sens, le marché local du travail est considéré comme imparfait.
Nous considérons que les travailleurs permanents sont employés pour les deux périodes. Ces deux périodes étant de même durée, nous avons : 
Le marché du travail permanent est considéré comme parfait et quelle que soit la période d’embauche, le salaire d’un permanent est fixe.
Dans la suite de P. Bardhan [1983], nous considérons que le coût du travail saisonnier est aléatoire d’une saison sur l’autre : 
Dans un contexte de pénurie potentielle de main-d’œuvre, 
Il est lié aux difficultés de recherche du travailleur saisonnier qui dépendent notamment de la taille du réservoir de main-d’œuvre et de sa disponibilité. L’aléa dans notre modèle est donc lié au coût de recrutement d’un saisonnier.
À chaque période, le coût de recrutement de la période en question est réalisé. Il n’est plus aléatoire (par exemple, en période 1, le coût de recrutement 1 a est réalisé et est connu par l’exploitant).
Par contre, le coût de recrutement de la période suivante est aléatoire (ici _ 2 a est anticipé par l’exploitant). Ainsi, à chaque période, l’aléa porte donc sur le coût de recrutement de la période suivante.
À l’instar des modèles de R. Innes [1993] et A. Saha [1994], notre modèle à une structure imbriquée (Figure 6). La fin de la période 2 est le début de la période 1’. L’optimisation en période 2 se fait en anticipant la période 1’ suivante.
Or, il n’y a pas de processus d’apprentissage ni d’accumulation d’un cycle de production à l’autre190 et les réalisations de la variable aléatoire
183 Le cycle de production correspond à l’ensemble des deux périodes (plantation et récolte).
184 u est deux fois différentiable.
185 q est deux fois différentiable et quasi-concave.
186 Cette hypothèse est valable pour de faible niveau de mécanisation comme c’est le cas dans le secteur des fruits et légumes.
187 Comme nous le verrons par la suite, la seule incertitude du modèle porte sur le coût du travail salarié saisonnier.
188 Alternativement, l’exploitant pourrait épargner en période de récolte pour satisfaire la consommation de la période de plantation suivante [Saha, 1994].
189 Considéré comme un profit résiduel.
190 L’absence de capital dans la fonction de production justifie l’absence d’accumulation. L’ensemble du profit est consommé sur un cycle de production (période de plantation et de récolte) par le biais du transfert monétaire S.
La période 1’ est donc strictement identique à la période 1. La fin de la période 2 est donc aussi le début de la période 1. L’optimisation en période 2 se fait donc en anticipant la période 1 suivante.
Figure 6- Structure du modèle
III- La maximisation de l’utilité espérée du ménage sur deux périodes
À chaque période du cycle de production (plantation et récolte), le ménage maximise son espérance d’utilité Zi sur deux périodes.
Nous reprenons la méthode de résolution du modèle en deux périodes de R. Innes [1993] et A.
Saha [1994] : dans un premier temps nous résolvons le programme de maximisation de la période de récolte (saison 2) en tenant compte de l’espérance d’utilité de la période de plantation suivante (saison 1’ ou, de manière équivalente, 1).
Dans un second temps, nous résolvons le programme de maximisation de la période de plantation (saison 1) en tenant compte de l’espérance d’utilité de la période de récolte (saison 2).
De par la structure imbriquée du modèle et l’absence d’apprentissage et d’accumulation d’un cycle de production à l’autre, les optimisations décrites ci-dessous se répètent à l’identique à chaque cycle de culture.
III.1- Le programme d’optimisation du ménage en période de récolte (saison 2)
En période de récolte (saison 2), le ménage maximise son espérance d’utilité par rapport à sa consommation et à son loisir sous un certain nombre de contraintes (voir l’équation (3-6)).
La contrainte (1) est la contrainte budgétaire liée à la consommation en période de récolte (saison 2). Elle intègre le profit lié à l’activité de récolte et le remboursement de l’emprunt qui a permis de soutenir la consommation de la période de plantation précédente.
La contrainte (2) est la contrainte budgétaire liée à la consommation en période de plantation (saison 1). Elle intègre l’emprunt réalisé à cette période pour soutenir la consommation et les coûts de l’activité de plantation
La contrainte (3) est la contrainte d’allocation du temps du ménage. (4) et (5) représentent la technologie de production.
(6) est une égalité comptable reflétant la substituabilité des trois types de main-d’œuvre sur l’exploitation.
(7), (8), (9), (10) et (11) sont des contraintes de positivité.
où T est la disponibilité temporelle totale de la famille et p le taux d’actualisation (0<p<1).
En intégrant certaines contraintes et égalités dans l’écriture de l’utilité, ce programme de maximisation est équivalent au programme suivant dans lequel les variables endogènes sont 
sous les contraintes 
III.2 – Le programme d’optimisation du ménage en période de plantation (saison 1)
De manière très analogue, en période de plantation (saison 1), le ménage maximise son espérance d’utilité par rapport à sa consommation et à son loisir sous plusieurs contraintes (voir l’équation (3-8)).
La contrainte (1’) est la contrainte budgétaire liée à la consommation en période de plantation (saison 1). Elle intègre l’emprunt réalisé à cette période pour soutenir la consommation et les coûts de l’activité de plantation.
La contrainte (2’) est la contrainte budgétaire liée à la consommation à la période de récolte (saison 2). Elle intègre le profit lié à l’activité de récolte et le remboursement de l’emprunt qui a permis de soutenir la consommation de la période de plantation précédente.
La contrainte (3’) est la contrainte d’allocation du temps du ménage. (4’) et (5’) représentent la technologie de production.
(6’) est une égalité comptable reflétant la substituabilité des trois types de main-d’œuvre sur l’exploitation.
(7’), (8’), (9’), (10’) et (11’) sont des contraintes de positivité.
En intégrant certaines contraintes et égalités dans l’écriture de l’utilité, ce programme de maximisation revient au programme suivant dans lequel les variables endogènes sont 
sous les contraintes 
182 Le modèle unitaire suppose qu’il existe une fonction objectif agrégée et unique pour le ménage. Dans ce cas, le problème de l’agrégation des préférences au sein du ménage est soit évacué en considérant qu’il existe un dictateur au sein du ménage qui impose ses préférences aux autres membres du ménage soit résolu en considérant l’agrégation pondérée des préférences individuelles (« modèle consensuel »).
Même si le modèle unitaire du ménage agricole est de plus en plus remis en question [Alderman et al., 1995], il reste le modèle le plus utilisé dans la littérature [Arcand, 2004].