2. Le modèle satisfaction-regret
Elaboré par Fustier (1991, 1992, 1994a, 1994b), le modèle satisfaction-regret a pour objectif de synthétiser pour chaque objet i les évaluations pj(i) compte tenu de l’importance (j) des attributs j.
Le modèle prend en compte des évaluations numériques ou, comme dans le cas présent, des évaluations qualitatives. Dans les deux cas, les évaluations sont données d’une manière ponctuelle : le niveau de vérité d’une proposition floue correspond à un échelon de l’échelle d’évaluation E et un échelon seulement.
Plus récemment (Fustier 1996a, 1996b, Fustier et Gnansounou 1997) le modèle a été étendu au cas où les évaluations sont données sous forme d’intervalles : le niveau de vérité d’une proposition ne s’exprime plus par un élément unique de E, mais par une suite d’échelons consécutifs qui traduisent les hésitations de l’évaluateur.
On se limite ici au cas (moins général) d’évaluations ponctuelles (numériques ou qualitatives). L’opérateur d’agrégation « floue » proposé dans ce cas fait intervenir des règles de logique floue beaucoup plus simples que les règles de logique -floue utilisées dans le cas plus général.
2.1. Objectif, définitions préalables
Pour chaque objet i (présentement, pour chaque sous-microrégion), il convient de résumer la suite des évaluations partielles [pj(i) ; j=1…m] par un échelon unique de E compte tenu des coefficients d’importance (j) attribués aux différentes composantes de la sensibilité. Formellement, il s’agit de déterminer un critère d’évaluation synthétique, c’est à dire une application g qui, à tout objet i, fasse correspondre un échelon de E, noté g(i).
L’idée consiste à comparer le profil de chaque objet « idéal ». Il semble naturel de définir le profil d’un tel objet par lasuite [(j) ; j=1…m], car en donnant l’importance d’une composante j, on estime en fait ce que doit être au minimum l’évaluation d’un objet pour qu’il corresponde à l’attribut de sensibilité considéré.
Si sur une composante j, l’évaluation d’un objet i est au moins aussi bonne que celle de l’objet idéal (c’est à dire si pj(i) (j), sachant que signifie « au moins aussi élevé que » dans le cas d’une échelle verbale), nous dirons que j est une composante concordante.
Inversement, si l’évaluation de l’objet i est moins bonne que celle de l’objet idéal (c’est à dire si pj(i) < (j), < se lisant « moins élevé que » dans le cas non-numérique), la composante est discordante.
Les opérateurs de disjonction « max » () et de conjonction « min » () utilisés en logique floue pour composer des niveaux de vérité ponctuels appartenant à [0,1] sont directement transposables ici puisque E est un ensemble totalement ordonné (cas numérique ou non-numérique).
Soit a(x) E et b(x) E les niveaux de vérité des propositions simples « x possède a » et « x possède b », on rappelle que :2.(1).Le niveau de vérité de « x possède a OU b » est donné par a(x) b(x)
2.(2).Le niveau de vérité de « x possède a ET b » est donné par a(x) b(x)
Dans le cas [0,1], l’opérateur de négation est défini par 1-a(x). Il est adapté ici en considérant l’opposé du niveau de vérité de la proposition correspondante. Ainsi, le niveau de vérité de la proposition « x NE possède PAS a » est l’opposé de a(x), c’est à dire l’élément de E, noté a*(x), tel que :
2.(3).Cas numérique :a*(x) = -a(x)
2.(4).Cas non-numérique :[a(x), supE]=t a*(x)=(t+1)ème échelon de E.
2.2. Procédure de synthèse :
Définition d’un opérateur d’agrégation floue (dans le cas ponctuel).
2.2.1. Satisfaction engendrée par le profil d’un objet
Pour tout objet i, on commence par définir la satisfaction sj(i) résultant de l’évaluation de i sur le jème attribut.
2.(5).sj(i) = pj(i) (j).
L’emploi de l’opérateur signifie qu’une « bonne » évaluation ne procure pas nécessairement une « forte » satisfaction, encore faut-il que le jème attribut intervienne fortement dans la définition de la sensibilité. On notera que cet indice de satisfaction partielle correspond au niveau de vérité de la conjonction « l’objet i correspond à la composante j ET j est une composante importante de la sensibilité » ou, plus simplement, « l’évaluation de i selon j est source de satisfaction ».
On résume ensuite les m indices de satisfaction partielle par l’indice le plus élevé :
2.(6).s(i) = [pj(i)(j) ; j=1…m].
La satisfaction globale produite par le profil de i est le niveau de vérité de la disjonction « l’évaluation de i selon 1 OU 2 OU … est source de satisfaction ».
En logique floue, la relation 2.(6). est appelée le « maximum pondéré » (Dubois et Prade 1986). Elle est utilisée pour agréger des valeurs de l’intervalle [0,1] dans le cadre de l’« évaluation subjective multicritère » (Dubois et Grabisch 1994).
Sous réserve qu’il existe au moins un poids égal à 1, le maximum pondéré correspond à la possibilité d’un ensemble flou (Dubois et Prade 1994).
Avec une hypothèse analogue, il existe au moins une composante dont le poids est égal à supE (une telle composante est dite fondamentale), on voit que l’indice de satisfaction de l’action idéale est égal à supE, ce qui est normal.
En outre, le maximum pondéré vérifie deux autres propriétés tout aussi naturelles :
- si le profil de l’objet i est plein (toutes ses composantes sont égales à supE), on vérifie que s(i) = supE.
- si le profil de i est vide (toutes ses composantes sont égales à infE), alors s(i) = infE.
Mais on remarque que si un objet i correspond pleinement à une seule composante fondamentale j° (c’est à dire à un attribut j° tel que (j°) = supE), son indice de satisfaction est maximum ( s(i)=supE) et cela quelles que soient ses évaluations sur les autres composantes (les autres évaluations pouvant être égales à infE y compris sur des composantes également fondamentales).
La formule du maximum pondéré est donc trop tolérante. Pour définir un opérateur d’agrégation plus correct, on introduit la notion de regret.
2.2.2. Regret causé par le profil d’un objet
D’après 2.(5), on voit que sj(i) ne peut dépasser (j) qui représente la satisfaction retirée de l’évaluation de l’objet idéal sur la composante j. Lorsque sj(i) est moins élevé que (j), on dira que l’évaluation de i sur j produit un regret, noté rj(i), et calculé de la manière suivante :
cas numérique
2.(7).rj(i)=[sj(i), (j)] + infE
où( sj(i), (j) ) = sj(i) – (j)etinfE < 0
cas non-numérique
2.(8).[sj(i), (j)] = t rj(i) = (t+1)ème échelon de E
oùt = nombre d’intervalles entre sj(i) et (j)
Conséquences :
1) Pour les composantes concordantes telles que pj(i) (j), on a sj(i) = (j), d’où absence de regret :rj(i) = infE
cas numérique :cas non-numérique :
[sj(i), (j)] = sj(i) – (j) = 0[sj(i), (j)] = 0 intervalle
donc rj(i) = 0+infE=infEdonc rj(i) = 1er échelon de E = infE
2) Pour les composantes discordantes telles que pj(i) < (j), on vérifie que sj(i)=pj(i), par conséquent, [sj(i), (j)] > 0 et rj(i) > infE. Le maximum de regret sur j (supE) est donc obtenu pour pj(i) = infE et (j) = supE :
cas numérique :cas non-numérique :
[sj(i), (j)] = infE – supE [sj(i), (j)] = h = cardE – 1
donc rj(i)=infE-supE+infE=supE donc rj(i)=dernier échelon de E=supE
La synthèse des regrets partiels est obtenue d’une manière analogue à celle des satisfactions partielles :
2.(9).r(i) = [rj(i) ; j = 1…m].
r(i) représente le niveau de vérité de la proposition :
« l’évaluation de l’objet i est source de regret ».
2.2.3. Evaluation globale
En prenant l’opposé de r(i), on obtient un indice de non-discordance (ou non-regret) qui, combiné avec l’indice de satisfaction, donne :
2.(10).g(i) = s(i) r*(i)
g(i) représente le niveau de vérité de la proposition :
« l’objet i est source de satisfaction ET NE produit PAS de regret »
En remplaçant s(i) par 2.(6). et r(i) par 2.(9)., on obtient directement :
2.(11).g(i) = { [pj(i)(j) ; j=1…m] } { ([rj(i) ; j=1…m])* }
D’après la propriété P5 du § 1.2., on a :
( [rj(i) ; j=1…m] )* = [rj*(i) ; j=1…m]
où les rj*(i) sont les opposés des regrets partiels rj(i).
Dans ces conditions, on obtient une écriture équivalente à 2.(11).:
2.(12).g(i) = { [pj(i)(j) ; j=1…m] } { [rj*(i) ; j=1…m] }
L’exemple suivant démontre la simplicité d’utilisation de cet opérateur de synthèse.
On considère les quatre attributs intervenant dans la définition de la sensibilité (Tableau 1) respectivement (j=1,2,3,4) sur lesquels on évalue une sous-micorégion i en utilisant une échelle verbale : faux (f), presque-faux (pf), assez-faux (af), à moitié vrai (àmv), assez-vrai (av), presque-vrai (pv), vrai (v). On obtient :
| attribut 1 | attribut 2 | attribut 3 | attribut 4 | |
| Profil de i | av | pv | àmv | av |
| Profil idéal | v | pv | av | v |
| (1) | (2) | (3) | (4) |
D’où la liste des satisfactions partielles :
| sj(i) = | avv = av | pvpv = pv | àmvav=àmv | avv=av |
En prenant l’indice le plus élevé de la liste, on obtient : s(i) = pv.
Calculons les regrets. Par exemple, pour le premier attribut on a :
[s1(i), (1)] = 2, donc r1(i) est le (2+1)ème échelon de E, c’est à dire assez-faux (af). La liste des regrets partiels est la suivante :
| rj(i) = | af | f | pf | af |
Le regret global est l’indice le plus élevé de la liste : r(i) = af.
Le non-regret est l’opposé de af (intuitivement, il s’agit de l’échelon av). Formellement, l’opposé de r(i) s’obtient de la manière suivante :
[r(i), supE] = (af,v) = 5, donc r*(i) = (4+1)ème échelon de E, soit av.
Finalement : g(i) = pvav = av.
